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1、双曲线型函数的性质及其应用梁开华对于函数，一般并不陌生；高中数学应用也常见不鲜。且形成基本不等式的一种变形形式处理最值及求解变化范围一类的问题。即时，时取等号；时，时取等号。考察这一函数的图象如图1，很显然，时，0,为减函数；，为增函数。时略。所有这些，解题时都可以直接应用。正因为这一函数情况简明，与不等式又有关联，有相当广泛的应用意义是很自然的。在教学中，有的称之为“双钩”函数；有的称之为“奈克”函数，笔者以为都欠贴切。其实，它是反比例函数与一次函数的一种复合，叫做“双曲线型”函数比较恰当。“双曲线型”函数是一种广义的定义，比如减号连接，就出现如图2-1，图2-2的两种变化。前者或都是增函数
2、；后者却都是减函数。又如图2-3，变量的系数不是1，=6时有最小值。由于这一函数的特殊性，似应把性质的讨论进行得更深入些。除了上述的以外，笔者特别给出下面的相关性质。同样，这些性质应可直接应用：性质1：上述已经给出的双曲线型函数，两条渐近线为轴，及或；对于，简单起见，则，当且仅当时取等号。一条渐近线改变为。性质2：上述已经给出的双曲线型函数，以为例，都具有明确的上凸性或下凹性。略。以后应用，只要说明是上凸或下凹就可以了，不必再进行其他比如导数过程的论证。性质3：对于函数时，如果，则。略。性质4：对于函数时，由性质3，若成立，则亦；若成立，则亦。即两者一定不等号方向相同。略。性质5：对于函数，考
3、察，只要其图象满足：00),为减函数；(或)，为增函数是下凹函数。就认为是与相仿的双曲线型函数，可直接应用双曲线型函数的一应性质。典型的例子如2006年上海的高考压轴题中的第（3）小题的函数。当然展开以后，是一系列的双曲线型函数相加。但笔者这里阐明性质以后，类此就可直接说明本身就是双曲线型函数。时，有最小值。基于此，即有性质6：类型的双曲线型函数，其和仍是类型的双曲线型函数；如果始终，且是类型的双曲线型函数，则仍是类型的双曲线型函数。且总在时，取得最小值。可参看下面的图3。性质7：对于函数，考察，有，则由性质4，一定 ，或；如果，当然这是不可能的；则一定 ，或。上述函数性质十分简明，不必讲究证
4、明，亦尽可放心应用。比如，即。因为，所以，。否则，不可能。这就是性质7。一般地，是多项式类函数，或进一步还形成这类多项式函数的乘方或根式，往往即为类型的双曲线型函数。现在如“几何画板”一类的函数作图十分流行，不必拘泥于代数论证，只须图形验证即可。但不经图形认可，盲目臆断是不行的。周期类函数比如，就不是类型的双曲线型函数。为进一步说明类型的双曲线型函数的应用，再看一个不等式证明问题解决的例子。本例（为伊朗数竞题1998）由翟得玉先生网上提出：证明：设。设，即证：。 （1）对于，由于，由对称性，总认为0x1。当0x1时，不等式成立；对于双曲线型函数，由，得。见图3。不必拘泥于的函数图象如何， 确实
5、与图象相仿。且始终在上方。所以，。见图4。这时，两边函数图象的凸凹性已无关紧要。总之，最小值点。即。由性质7，即对于（1），成立。所以，原不等式成立。当且仅当时取等号。或曰：，怎么就分别且同时成立呢？万一一个是负的，一个是正的，正的比负的大呢？但请注意：这里除了，还有。下面说明这种情况不可能。考察的图象，如图5，。且是减函数十分明显。因此，由，有，则有，不等式已经成立。对于是下凹函数，由，还是成立。上述是减函数且下凹，图5已相当明显；约在时在轴下方继续缓慢上升。即便是对这样形式的，求一阶导数、二阶导数说明之，也还不算太过麻烦。但笔者认为已没有必要。如果把的图象也叠加到图5上，在的不论哪一边，一条曲线上的两个函数值与另一条曲线上的一个函数值相加，满足就看得更清楚了。这正是图4揭示的性质7一定成立的结果。这样的一种证明方法，也许对轮换对称的条件不等式有一定的普适性。
