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1、第三讲 命题与条件一、课前练习已知函数f (x)二 ax2 1,a e R,x e R，集合 A 二lx|f (x)二 x,集合B 二且A = B H0，求实数a的取值范围。解：二、知识要点1、命题与推出关系(1) 命题：表示判断的语句叫做命题.一般由条件和结论构成.(2) 推出关系：如果a这件事成立可以推出P这件事也成立，那么就说由a可以推出P ,记作：ccP .(3) 正确的命题叫做真命题.确定一个命题是真命题必须作出证明，即证明满足命题条件能推出命题结 论；错误的命题叫做假命题. 确定一个命题是假命题只需举反例，即举出一个满足命题条件而不 满足命题结论的例子.例 1、判断下列语句是否为命
2、题？如果是命题，判断它们是真命题还是假命题？为什么？(1) 你是高一学生吗？(2) 过直线AB外一点作该直线的平行线.(3) 个位数是5 的自然数能被5 整除(4) 互为余角的两个角不相等.(5) 竟然得到59的结果！(6) 如果两个三角形的三个角分别对应相等，那么这两个三角形相似.解：由例1的(4)可以看到，要确定一个命题是假命题，只要举出一个满足命题的条件，而不满足其结论的 例子即可，这在数学中称为“举反例”.要确定一个命题是真命题，就必须作出证明，证明若满足命题的条件就一定能推出命题的结论.一般地，如果事件a成立可以推出事件卩也成立，那么就说由a可以推出卩，并用记号anB表示，读作“a推
3、出B”换言之，anB表示以a为条件，B为结论的命题是真命题.如果事件a成立，而事件B不能成立，那么就说事件a不能推出事件B成立，可记作a丹卩.换言之，a并 B表示以a为条件，B为结论的命题是一个假命题.如果ap，并且pa,那么记作aoB，叫做a与B等价.显然，推出关系满足传递性：anp, py，那么any.2、四种命题形式如果用a和p分别表示原命题的条件和结论，用a和p分别表示a和P的否定, 那么四种命题形式是：原命题：如果a，那么p.逆命题：如果p，那么a .否命题：如果a，那么p.逆否命题：如果p,那么a. 其中原命题与逆否命题、逆命题与否命题互为逆否命题，同真或同假。互为逆否命题的两个命
4、题 是等价命题.3、充分条件与必要条件如果anp，那么a是p的充分条件.如果pna,那么a是p的必要条件.如果anp且p na，即a op，那么a是p的充分而且必要条件，简称充要条件.4、子集与推出关系则A匸B与anp等价.若A = fx x具有性质a，B = x x具有性质p例 2、判断下列命题的真假，并说明理由：(i)三点确定一个圆；(2)若A n B=0，则A=e或B=e ；(3) 设a、b、c e N*，若ab是c的整数倍，则a、b中至少有一个是c的整数倍;(4) 如果ax2 + bx + c = 0(a丰0)中ac 0且y 0，则xy 0 ”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断四 个命
5、题的真假.解：例 5、判断下列条件是结论的什么条件：(1) 集合“ A = B ”是“ A A C 二 B A C ”的条件.(2) x ,x e R，则“ x 0且x 0 ”是“ x + x 0且x - x 0 ”的条件.1 2 1 2 12 12(3) x, y e R，贝y“ x 2且 y 2 是“ x + y 4 且xy 4 ”的条件.(4) x, y e R，贝广 |x + y| 2 是“ |x| 1 且 |y| 1 的条件.解：例6、已知实系数一元二次方程ax2 + bx+c = 0(a丰0),试写出下列各条件的一个充要条件:(1) 方程有一个正根、一个负根； (2)方程有两个正根
6、； (3)方程有两个不同负根；(4)方程有一个正根、一个根为0 ；(5)方程有一个根大于 1、一个根小于 1解：例7、试用集合的包含关系说明a是卩的什么条件.(1) a： x=l, y=2B： x+y=3(2) a：正整数n被5整除，卩：正整数n的个位数为5.解：例8、设a： 1x3, B： a+1x2a1,若a是卩的必要条件，求实数a的取值范围.解：例9、命题甲：关于x的方程4x2-4(a + l)x + 3(a +1)= 0(a e R)有两个均小于2的不同实根命题乙: 关于x的不等式(a + 1)x2-ax + a-1 0对一切实数x都成立问：甲是乙的什么条件？并说明理由.解：例 10、
7、集合 a二(X, y)I y2 二X +1,B 二(x, y)I4x2 + 2x 2y + 5 二0, C = (x,y)1 y 二 kx + B,问是否存在自然数k,B使得(AoB)nC = 0，并证明。解：三、巩固与提高1、 命题“对任意的x g R, x3 x2 +1 0 ”的否定是()(A)不存在 x g R， x3 x2 +1 0 (B)存在 x g R， x3 x2 +1 0(D)对任意的 x g R， x3 x2 +1 02、 设x , x是一元二次方程ax2 + Bx + c = 0的两实根，则x 2,x 2成立的必要条件是()1 2 1 2x + x 4I x + x 4S
8、12； C. S 12； D. S 12.x - x 0丨 x - x 41 2 1 2 1 2厂x + x 6A.12 Q ；x - x 8试从 A、aB = 0 ,B、a + B = 0， C、a 2 + B2 = 0， D、aB 0 ,E、a + B 0，123、若 a,B,c 都是实数F、a2 + B2 0中分别选出适合下列条件的代号填空. 使a、B都是0的充分条件是； 使a、B都不是0的充分条件是； 使a、B中至少有个是0的充要条件是； 使a、B中至少有一个不是0的充要条件是.4、 若命题p的逆命题是Q，命题p的否命题是Y，则命题Q是命题Y的。5、 设x、y g R，贝广 |x +
9、3 ”的条件是“ |x 2,|y| 、拓”的条件是“ a 1 ”。7、 “ x2 = x + 2 ”是xvx + 2 = x2 的条件.8、已知命题“ a B n c D ”和“ a B o e / ”都是真命题，则“ c D ”是“ e 1/a,则丨a丨1”的逆否命题；(4) 写出命题“若A匸B,则A的逆否命题.解：15、设p : x2 + mx +1二0有两个不相等的负实根；q : 4x2 + 4(m 2)x +1 = 0无实根; 若“ P或q ”为真，而“ P且q ”为假，求实数m的取值范围。解：16、已知抛物线 y = x2 + 4ax 4a + 3, y = x2 + (a 1 丿x + a2, y = x2 + 2ax 2a 至少有一条与 x 轴相 交，求实数a的取值范围。解：
