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1、离散数学习题答案习题一1. 判断下列句子是否为命题？若是命题说明是真命题还是假命题。（1）3是正数吗？（2）x1=0。（3）请穿上外衣。（4）210。（5）任一个实数的平方都是正实数。（6）不存在最大素数。（7）明天我去看电影。（8）9512。（9）实践出真知。（10）如果我掌握了英语、法语，那么学习其他欧洲语言就容易多了。解：（1）、（2）、（3）不是命题。（4）、（8）是假命题。（5）、（6）、（9）、（10）是真命题。（7）是命题，只是现在无法确定真值。2. 设P表示命题“天下雪”，Q表示命题“我将去书店”，R表示命题“我有时间”，以符号形式写出下列命题。（1）如果天不下雪并且我有时间，
2、那么我将去书店。（2）我将去书店，仅当我有时间。（3）天不下雪。（4）天下雪，我将不去书店。解：（1）（PR）Q。（2）QR。（3）P。（4）PQ。3. 将下列命题符号化。（1）王皓球打得好，歌也唱得好。（2）我一边看书，一边听音乐。（3）老张和老李都是球迷。（4）只要努力学习，成绩会好的。（5）只有休息好，才能工作好。（6）如果a和b是偶数，那么a+b也是偶数。（7）我们不能既游泳又跑步。（8）我反悔，仅当太阳从西边出来。（9）如果f(x)在点x0处可导，则f(x)在点x0处可微。反之亦然。（10）如果张老师和李老师都不讲这门课，那么王老师就讲这门课。（11）四边形ABCD是平行四边形，当且
3、仅当ABCD的对边平行。（12）或者你没有给我写信，或者信在途中丢失了。解：（1）P：王皓球打得好，Q：王皓歌唱得好。原命题可符号化：PQ。（2）P：我看书，Q：我听音乐。原命题可符号化：PQ。（3）P：老张是球迷，Q：老李是球迷。原命题可符号化：PQ。（4）P：努力学习，Q：成绩会好。原命题可符号化：PQ。（5）P：休息好，Q：工作好。原命题可符号化：QP。（6）P：a是偶数，Q：b是偶数，R：a+b是偶数。原命题可符号化：（PQ）R。（7）P：我们游泳，Q：我们跑步。原命题可符号化：（PQ）。（8）P：我反悔，Q：太阳从西边出来。原命题可符号化：PQ。（9）P：f(x)在点x0处可导， Q
4、：f(x)在点x0处可微。原命题可符号化：P Q。（10）P：张老师讲这门课，Q：李老师讲这门课，R：王老师讲这门课。原命题可符号化：（PQ）R。（11）P：四边形ABCD是平行四边形，Q：四边形ABCD的对边平行。原命题可符号化：P Q。（12）P：你给我写信，Q：信在途中丢失了。原命题可符号化：P （PQ）。4. 判断下列公式哪些是合式公式，哪些不是合式公式。（1）(QRS) （2）(P (RS)（3）(PQ) (QP)（4）(RSF)（5）(P(QR)(PQ) (PR)解：（1）、（2）、（5）是合式公式，（3）、（4）不是合式公式。5. 否定下列命题： （1） 桂林处处山清水秀。（2）
5、 每一个自然数都是偶数。解：（1）桂林并非处处山清水秀。（2）并不是每一个自然数都是偶数。或：有些自然数不是偶数。6. 给出下述每一个命题的逆命题、否命题和逆否命题。（1） 如果天下雨，我将不去。（2） 仅当你去我才不去。（3） 如果=b24ac0，则方程ax2+bx+c=0无实数解。（4） 如果我不获得奖学金，我就不能完成学业。解：（1）逆命题：如果我不去，那么天下雨。否命题：如果天不下雨，我就去。逆否命题：如果我去，那么天不下雨。（2）逆命题：如果你去，我将不去。否命题：如果我去，你将不去。逆否命题：如果你不去，我就去。（3）逆命题：如果方程ax2+bx+c=0无实数解，则=b24ac0。
6、否命题：如果=b24ac0，则方程ax2+bx+c=0有实数解。逆否命题：如果方程ax2+bx+c=0有实数解，则=b24ac0。（4）逆命题：如果我不能完成学业，那么我没有获得奖学金。否命题：如果我获得奖学金，我就能完成学业。逆否命题：如果我就能完成学业，那么我就获得奖学金。7. 求下列各式的真值表。（1）P(RS) （2）(PR) (PQ)（3）(PQ) (QP)（4）(PQ) R（5）(P(QR)(PQ) (PR)解：（1）P(RS)PRSRSP(RS)1111111011101111000001111010110011100001（2）(PR) (PQ)PQRPRPQ(PR) (PQ)
7、111111110011101101100000011011010011001011000011（3）(PQ) (QP)PQPQQP(PQ) (QP)11111101110111100001（4）(PQ) RPQRQPQ(PQ) R111011110010101111100110011000010000001111000110（5）(P(QR)(PQ) (PR)PQRQRP(QR)PQPR(PQ) (PR)原公式1111111111100010011011101111001100110111111110100111110011111110001111118. 用真值表判断下列公式的类型：(1)
8、 PQQ(2) (PQ)(RS)(PR)(QS) 解：(1) PQQPQQPQPQQ11011101100100100110（1）为可满足式。(2) (PQ)(RS)(PR)(QS)PQRSPQRS(PQ)(RS)PRQS(PR)(QS)原公式11111111111111010111111101111111111001111111101101111111010000100110010111111100001110000111111111101101001111010111101110100111011100111111111001010110000001111011100001110011（2
9、）为可满足式。9. 证明下列等价式。（1）P(QP) P(PQ)（2）(P Q) (PQ) (PQ)（3）(PQ) PQ（4）(P Q) (PQ) (PQ)（5）P(QR) (PQ) R（6）(PR) (QR) (PQ) R（7）(PQ)R) (Q(SR) (Q(SP) R证明：（1）P(QP) P(QP) P(PQ)P(PQ)（2）(P Q)(PQ) (PQ) (PQ) (PQ) (PQ) (PQ)（3）(PQ) (PQ) PQ（4）(P Q) (PQ)(QP) (PQ) (QP) (PQ) (PQ)（5）P(QR) P(QR) (PQ) R (PQ) R（6）(PR) (QR) (PR)
10、(QR) (PQ)R(PQ)R (PQ) R（7）(PQ)R) (Q(SR) (PQ) R) (Q(SR) Q(PS)R(Q(SP) R (Q(SP) R (Q(SP) R10. 使用恒等式证明下列各式，并写出它们对偶的公式。（1）(PQ)(PQ) P（2）(PQ) (PQ)(PQ)(PQ)（3）Q(PQ)P) T证明：（1）(PQ)(PQ) (PQ)(PQ)P(QQ) PTP（2）(PQ) (PQ)(PQ)P(QQ)(PQ)PF(PQ) P(PQ)(PP)(PQ) F(PQ)(PQ) (PQ)（3）Q(PQ)P)Q(PQ)P) Q(PQ)P( QPP ) (QPQ) TTT11. 试证明，不是全功能联结词集合。证明：若是最小联结词组，则P( P.)对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，等价式矛盾。若是最小联结词组，则P P ( P( P.).)对所有命题变元指派T，则等价式左边为F，右边为T，等价式矛盾。12. 证明下列蕴涵式：（1）PQ(PQ) （2）P (QP) （3）(P(QR) ( PQ) (PR)
