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1、方阵的特征值与特征向量 授课教师：陈曦 07.11.18从映射的角度看，n阶方阵是从的线性变换。虽然变换有可能使向量朝各个方向移动，但是通常会有某些特殊的向量，A对这些向量的作用是很简单的，比如拉伸或压缩。即.定义1 设是n阶方阵，如果存在和n维非零列向量，使得，则称数为的特征值，并称非零列向量为的属于的特征向量。对于这个定义我们应注意以下两点：1. 特征向量. 否则由于对任何数，都有，从而任何数都是的特征值，这样的定义显然是不合理的。2. 若，则应是从的线性变换。特征向量的几何意义：假设是的两个特征值，分别是的特征向量。则， yx是将拉伸了1倍。是将沿反方向收缩了一半。并且易知上的任何向量在
2、的作用下都拉伸1倍。当是复数时，也有几何意义在此不多作介绍。由定义1可以推出若干简单的性质：a. 若0是的一个特征值，则属于0的特征向量是的非零解。这是因为属于0的特征向量满足因此是的非零解。b. 若是奇异矩阵，则是的一个特征值. 因为此时必有非零解. 故是的一个特征值.以上定义了方阵的特征值和特征向量，接下来我们看两个例子。例1. 设, 求的特征值和特征向量。解：若取，则从而是的一个特征值。若取，则，从而也是的一个特征值。那么是的特征向量吗？即是否有等式成立？由于故不是的特征向量。例2. 旋转矩阵，不妨设是逆时针转90的旋转矩阵则矩阵不存在实特征值。解：因为故不平行，故不存在实特征值。实际上
3、有两个复的特征值，我们随后将给出。接下来考虑给定一个方阵后，如何求它的特征值以及属于某特征值的特征向量。（一）如何求方阵的特征值。由定义，是的特征值当且仅当方程（1）有非零解。方程（1）等价于或 （2）这是一个含n个方程n个未知量的齐次线性方程组。（2）有非零解当且仅当，即是方程 （3） 的解。因此有以下结论1.结论1. 是的特征值当且仅当是方程（3）的解。将（3）具体写出，左边的行列式为 由行列式的定义可知（3）是关于未知量的一元n次方程，等号左侧是的n次多项式。定义2. 称方程（3）是方阵的特征方程，称为的特征多项式，记作.因为特征值在复数中取值，又的特征方程在复数域中恰有n个根，所以重根
4、按重数计算，我们有推论：推论1 任何方阵在复数域中都有n个特征值。（二）如何求属于某一特征值的特征向量。由前面的分析可知，是的属于的特征向量当且仅当是齐次线性方程组的非零解。于是有结论2：结论2 是的特征向量当且仅当是的非零解。我们在此作个小结：方阵的特征值就是特征方程的根，特征方程是关于的n次方程； 求属于特征值的特征向量等价于求齐次线性方程组的非零解向量。最后我们利用结论1，2求例2中逆时针旋转90的矩阵的特征值和特征向量。解：的特征方程为，把代入得. 即 由结论2可知，属于的特征向量是的非零解向量。对应的齐次线性方程组是 .它的系数矩阵的秩是1，因此基础解系只含一个解向量。并且秩等于1又说明该齐次线性方程组的有效方程只有一个，不妨取第二个方程，可知是一个解向量，故的全部特征向量是，同理对应的齐次线性方程组是. 取第一个方程，解得，故的全部特征向量是.
