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1、函数的奇偶性 教学目标：1. 使学生理解奇函数、偶函数的概念；使学生掌握判断函数奇偶性的方法；2. 培养学生判断、推理的能力、加强化归转化能力的训练。教学重点：函数奇偶性的概念教学难点：函数奇偶性的判断和证明。教学过程：(一)知识要点：1.奇偶性的定义： （1）偶函数的定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做偶函数。例如：函数, 等都是偶函数。（2）奇函数的定义：一般地，如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那么函数就叫做奇函数。例如：函数，都是奇函数。（3）奇偶性的定义：如果函数是奇函数或偶函数，那么我们就说函数具有奇偶性。2.说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有
2、奇偶性的函数：（1）其定义域关于原点对称；（2） 或必有一成立。因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算，看是等于还是等于，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。 （4）函数既是奇函数也是偶函数，因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。（5）一般的，奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称，反过来，如果一个函数的图形关于轴对称，那么这个函数是偶函数。（6）奇函数若在时有定义，则（二）例题选讲：例1判断下列函数的奇偶性：（1）（奇函数）（2
3、）（既是奇函数又是偶函数）（3）（非奇非偶函数）（4） （非奇非偶函数）（5）（既是奇函数又是偶函数） （6）（偶函数） 例2判断下列函数的奇偶性： （1） （既是奇函数又是偶函数） （2）（奇函数）说明：在判断与的关系时，可以从开始化简；也可以去考虑或；当不等于0时也可以考虑与1或的关系。例3已知函数若，求的值。解：构造函数，则一定是奇函数 又， 因此 所以，即说明：函数的奇偶性不但可以求函数值，也可以利用奇偶性的图象性质作函数图象。例4已知：函数在上是奇函数，而且在上是增函数，证明：在上也是增函数。证明：设，则在上是增函数。,又在上是奇函数。,即所以，在上也是增函数。说明：函数的奇偶性和单
4、调性的综合：奇函数在对称于原点的两个区间上的单调性一致；偶函数则在在对称于原点的两个区间上的单调性相反！例5为上的奇函数，当时，求的解析式。解：设，由于是奇函数，故， 又，由已知有从而解析式为例6定义在上的奇函数为减函数，且，求实数的取值范围。解：奇函数 又在上为减函数， 解得练习巩固：1.判断下列函数的奇偶性(1) (2) (3) (4) (5) （6）2.下面四个结论：偶函数的图象一定与y轴相交；奇函数的图象一定通过原点；偶函数的图象关于y轴对称；既是奇函数又是偶函数的函数一定是f(x)=0(xR)，其中正确命题的个数是 （ ） A1 B2 C3 D43. 已知函数f(x)=x2+lg(x
5、+),若f(a)=M,则f(-a)等于 （ ）(A)2a2-M (B)M-2a2 (C)2M-a2 (D)a2-2M4.函数F(x)=(1+2/(2x-1)f(x)(x0)是偶函数，且f(x)不恒等于零，则f(x) ( )(A)是奇函数 (B)是偶函数 (C)既是奇函数，又是偶函数 (D)非奇非偶函数5.函数f(x)=x2/(x2+bx+1)是偶函数，则b= 6.已知f(x) 是奇函数，且当x(0,1)时，f(x)=ln(1/(1+x),那么当x(-1,0)时，f(x)= 7.定义在上的偶函数，当时，为减函数，若成立，求的取值范围。8. 已知，当为何值时，为奇函数。9. 偶函数在上单调递增，比较的大小。10.已知是R上的偶函数，当时，求的解析式。11. 函数定义域为，且对于一切实数都有，试判断的奇偶性。12.判断函数f(x)=的奇偶性。1
