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1、分段函数小专题一、概念1、分段函数的定义及内涵我们知道世界是不断变化发展的，因此作为描述这种变化的工具之一的函数也不可能一成不变，内部必然以一种变化的姿态来对应，这种姿态的一种表现形式就是分段函数。何谓分段函数呢？就是一个单一函数解析式无法表达一个变化事物时，需要对该事物进行分析讨论，从而分段表达，这就是分段函数。比如，在叙述一个数的绝对值意义时，就是按正数、负数和零来分开叙述的，写成函数。像这样的，若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数提醒1、 分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数2、 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并
2、集，其值域等于各段函数的值域的并集2、分段函数的作图：画出所有段的函数图像，注意取舍（一手铅笔一手橡皮）。比如作的图像：的图像：二、题型分类 题型一、分段函数求值例1、【2015新课标2理5】设函数,则（ ）A.3B.6 C.9D.12【分析】此题关键是看和与1的大小关系，从而决定分别代入哪个解析式进行求值计算。友情提示：对数恒等式。变式：（2014江西4）已知函数，若，则（ ） 例2、（2014安徽14）若函数是周期为4的奇函数，且在上的解析式为，则.【分析】此题注意题干中的关键词“周期”、“奇函数”，在做本题时注意通过这两条性质把不在内的两个自变量的值变换到范围内。变式1、（2014四川1
3、3）设是定义在R上的周期为2的函数，当时，则 .变式2、【2016高考山东文数】已知函数f(x)的定义域为R.当x0时，f(x)=x3-1；当-1x1时，f(-x)= f(x)；当x时，f(x+)=f(x).则f(6)= （ ）（A）-2 （B）-1 （C）0 （D）2提示：周期为1是在（0，+）上才成立的，不涉及负数。题型二、与分段函数相关的方程与不等式例3、已知实数a0，函数f(x)若f(1a)f(1a)，则a的值为_例4、（2014浙江15）设函数，若，则 .变式、【2015山东理10】设函数则满足的取值范围是（ ）A. B. C.D. 例5、（2014新课标1 15）设函数则使得成立的
4、的取值范围是_.变式、(2015榆林二模)已知f(x)使f(x)1成立的x的取值范围是_题型三、分段函数的单调性与最值、值域例6、求下列函数的单调区间： yx22|x|1；（2）y|x22x1|解：(1)由于y即y画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)（2）略变式1设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_变式2设函数yf(x)在(，)内有定义对于给定的正数k，定义函数fk(x)取函数f(x)2|x|.当k时，求函数fk(x)的单调递增区间例7已知函数f(x)则“c1”是“函数f(x)在R上递增”的()A充分不必要条件 B必要不
5、充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件例8.【2015湖北理，6】已知符号函数 是上的增函数，则（ ）A. B.C. D.例9函数f(x)的最大值为_变式1.【2015浙江理，10】已知函数，则_，的最小值是_.变式2.【2015福建理，14】若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数的取值范围是_.题型四、分段函数的奇偶性与周期性例10、判断函数的奇偶性：f(x)例11(2015唐山统考)f(x)是R上的奇函数，当x0时，f(x)x3ln(1x)则当x0时，f(x)()Ax3ln(1x) Bx3ln(1x) Cx3ln(1x) Dx3ln(1x)变式已知函数f(x)是奇函数(1)求实数m的值；
6、 (2)若函数f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数a的取值范围例12、（2014辽宁10）已知为偶函数，当时，则不等式的解集为（ ）A B C D例13、设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间1,1上，f(x)其中a，bR.若ff，则a3b的值为_题型五、与分段函数相关的零点问题例14、（2014福建15）函数的零点个数是_变式1【2015江苏，13】已知函数，则方程实根的个数为_.变式2【2016高考山东文数】已知函数 其中，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_.变式3（2014重庆10）已知函数内有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是( )A. B. C. D.变式4（2014天津14）已知函数若函数恰有4个零点，则实数的取值范围为_
