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1、2多重积分、曲线积分与曲面积分、多重积分1.二重积分连续函数f（x,y）在有限可求积的平面区域Q内的二重积分f （x,y）dxdy 二lim 、 max| xl）0 i max|.y| ：0f（Xi，yj）.：Xi.yj式中:x =x i -x ,y二yj訂-yj，二：二 是对Q中的所有（x, yj的下标i, j求和. i j特定区域内二重积分的计算公式积分区域Q9 = aI I f （x, y）dxd y计算公式（积分限应从小到大）6b-2 （ X）adxf（x,y）dy：-2（y） ：dy i（y）f（x，y）dx# / 13（极在区域外）（极在区域内）设 x =cos , 丫 =sin
2、:，贝U dxdy = Pd Pd申cosjsin yd，2 ，（ ；T0 d f（cos ,sin ）廿二重积分的变量替换（雅可比式）若连续可微分的函数X = x(u,u)y = y(u)把平面Oxy上的有界闭区域Q单值映射到平面Ou上的闭区域Q，其雅可比式为j = ?(x,y) 石(u,u)O 空GU空比则例则所以.f (x,y)dxdy 二 f x(u, ), y(u, ) |J | dud若X = P cos沪 Psincos-sinsincos11 f (x, y)dxdy ： i i f ( cos ,sin :)亠d : QQ2.三重积分直角坐标下的三重积分假设有界区域V由下列不
3、等式axb, yi(x) y y2(x) , z(x,y) z Z2(x,y)确定，其中yx), y2(x),乙( y), Z2(x, y)都是连续函数，且函数f(x,y,z)在V上是连续的，贝U 函数f(x,y,z)在有界区域V上的三重积分by2(x)Z2(x,y)仃J f(x,y,z)dxdYdfadxy(x) d yfz(x,y) f (x,y,z)dzV11有时采用下面公式计算：b仃 J f (x,y,z)dxd ydz = Jadxf (x, y,z)d ydzaVSx式中Sx二Sx(y,z)是用平行于Oyz的平面截区域V所得的截断面(图6.3).例设V表示在第一卦限中由曲面f f
4、f和坐标平面所围成的封闭区域,切常数都是正的时候，有!x：4y ：4z 4dxdydz-Va P Y )()()P q r；apqr- (1 一)P q r这种类型的积分称为狄利克莱积分，它在计算重积分时经常用到圆柱坐标下的三重积分（图6.4）I I I f (x, y, z)d xd yd z = f (cos :, ：、sin : ,z) d : d zVV （一般地，ow ： w 2n ）式中V为直角坐标中的有界区域，V是区域V在圆柱坐标系中的表达式.球面坐标下的三重积分（图6.5）ill f （x, y, z） d x d y d = f （r s in cos :, r si n s
5、in :,r cosr2si n dr d :VV （一般地，OW : W 2 n ,0W 0 W n ） 式中V是区域V在球面坐标系中的表达式.三重积分的变量替换（雅可比式）若连续可微函数x = x（u,u ,w）“ y = y（u,w）z = z（u,u ,w）把Oxyz空间的有界三维闭区域双方单值地映射到 Ou w空间的闭区域V,并且当（u, ： ,w） V时其雅可比式巡 y,z)：(u, ,w)exJycz召ucucuexrczcvcvcUex負cz点w点wcw则| | | f (x, y,z)d xd y d z 二 fx(u/ , w), y(u/ , w), z(u/ , w)
6、| J | d u d d w VV 3.多重积分直接计算多重积分若函数f（X1,X2，Xn）在由下列不等式所确定的有界闭区域 Q内是 连续的：aw x1 w bx2(xjw X2 w x2 (xjXn (XX2, ,XnjW X. 冷(治必， X/)式中 a,b为常数,X2(Xi),x2(Xi)，,Xn(Xi,X2,Xn),Xn(Xi,X2 j, Xn J )为连续函数，则对应的多重积分可按下面公式计算：b/爲以)yX/ (冯兀,Xn J仃Jf (Xi,X2,.Xn)dX! dX2.dXn nJadXi fX (X ) dX?.,X 7 f (Xi,X2,.Xn)dXn多重积分的变量替换(雅
7、可比式)若连续可微函数Xi = i (芒1匸2,上n), i=1,2,n把OX1X2Xn空间内的有界闭区域Q双方单值地映射成0；空间内的有界闭区域Q ,并且在闭区域Q 内雅可比式；：(Xi,X2/ ,Xn)二汽 1, 2，n)则f (X1 ,X2,.Xn) dX1 dX2dXn 二 f( 1, 2,. ：n)| J |d d 2.d nQQ特别，根据公式X = r cosX2 = r sin1 cos2Xn a = r sin 巧 sin 2.sincosnXn =rsin 1 sin .sin ;：nsin变换成极坐标(r,1, ,F)时，有:J、：；：二；)十加呎汽7叽图G 6曲线积分对弧
8、长的曲线积分若函数f(x,y,z)在光滑曲线C:x = X(t)y = y(t)z 二 z(t) (t 红乞 T)的各点上有定义并且连续(图 6.6)则T： 222c f(x, y,z)ds = .t fx(t), y(t), z(t) x (t) y (t) z (t) dt0式中ds为弧的微分，X(t)=0等.这个积分与曲线C的方向 dt 无关.对坐标的曲线积分若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在光滑曲线C:X =x(t)= y(t)z = z(t) (t 玄t MT)的各点上连续，这曲线的正方向为t增加的方向，贝UP(x,y,z)dx Q(x, y,
9、z)dy R(x, y,z)dzTt0P【x(t),y(t),z(t)x(t) Qx(t),y(t),z(t)y(t)Rx(t), y(t),z(t)z(t) dt当曲线C的正向变更时，积分的符号改变.全微分的情形若函数P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)在区域V中的任一条光滑曲线C上连续，并且P(x, y, z)d x Q(x, y, z) d y R(x, y, z) d z 二 du式中u=u(x,y,z)为区域V内的单值可微函数，贝UCPdx Qd y Rdz 二u(X2,y2,Z2)u(xi,yi,zj 式中任，,乙)为积分曲线C的始点，(X2,y2,Z2
10、)为积分曲线C的终点.这说明在假定的条件下, 积分值与曲线C的形状无关，只与曲线的始点和终点有关(图6.7).在单连通区域V内有连续的一阶偏导数的函数P,Q,R能表成全微分P(x,y,z)dx Q(x, y,z)d y R(x, y, z)d z = d u的充分必要条件是：在区域V内等式cPcQcQcRcRcP:y:x:z:yx:z成立.这时函数u可按下面公式求得：xyzu(x,y,z)=勺卩化 y, z)dx yQ(Xo,y,z)dy Rdoyozgz 式中(Xo,y,z0)为区域V内的某一固定点.格林公式1曲线积分与二重积分的关系.设C为逐段光滑的简单图氏7(无自交点)闭曲线，围成单连通
11、的有界区域 S,这围线的方 向使区域S保持在左边，若函数P(x,y),Q(x,y)及它们的一阶偏 导数在S+C上连续，则有格林公式：西 FPCP(x,y)dx Q(x,y)dy = (一 一 _ )dxdy2曲线积分与积分线路的关系.若函数P,Q,M,卫 在cy ex区域S上连续，且cPcQ则沿S内的任一光滑闭曲线的积分为零，即:c P d x Q d y = 0因而由S中的A到B的积分与线路无关(图6.8)，即Ci(A,B)Pdx + Qdy=C2(A,B)pdx + Qdy三、曲面积分对曲面面积的曲面积分1若S为逐片光滑的双侧曲面曲面上某一点的法线方向的选定，唯一确定了曲面上所有其他点的法
12、线方向，它们就是选定方向的法线在曲面上连续移动(不经过曲面边缘)的指向，所以也就决定了曲面的一侧如果改变原来选定的法线方向，曲面上的所有其他点的法线方向都随着改变，曲面就从一侧移到另一侧这种曲面称为双侧曲面.对坐标的曲面积分若S为光滑的双侧曲面，S 为它的正面，即由法线方向n(cosa ,cosB ,COSY )所确定的一侧，P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R= R(x,y,z)为在曲面S上有定义并且连续的函数，则iiPdydz Qdzdx Rdxdy 二(Pcos-二 1 Qcos若曲面S由连续可微函数z=z(x,y) (x,y)二)式中c为曲面S在Oxy坐标面上的投影，z(x,
13、y)为单值连续可微函数，函数f(x,y,z)在曲面S的 各点上有定义并连续，则JJf (x,y,z)dS= JJfx,y,z(x,y) 1 +(仝)2 +(竺)2 dxdyr rr rTl Fi.S匚x : y此积分与曲面S的方向(法线的方向)无关.2若曲面S由连续可微函数 x = x(u,u) y = y(u,u)(u, ) C Q )z = z(u,u)给定，则iif (x, y, z)dS II f x(u,： ), y(u, ), z(u,. ) EG - F2 dudS 式中=(兰)2 (与 U2:u :u ；ux :x:y :y:z: z.:uuuf珂百2(当2(冃2Rcos )d
14、SeVeVeV”x = x(u,u)* y = y(u,u)(UU ) Q )z = z(u,u)给定，则Pdydz Qdzdx Rdxdy 二(AP BQ CR)dudS ；. 1式中A =次y,z) B =欣乙x) C = (x, y)(u,S(u,u) 次u,u)斯托克斯公式若C是包围逐片光滑有界双侧曲面 S的逐段光滑简单闭曲线,P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)是在 S+C 上连续可微函数，则cPdxQdyRdz二(迟一卫)dydz (兰一兰)dzdx (卫h)dxdyS -y :z:z :：x:：x ；:y高斯公式若S为包含体积V的逐片光滑曲面P=P(x,y,z),Q=Q(x,y,z),R=R(x,y,z)及其一阶偏导数在V+S上连续，则有高斯公式:
