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1、第四章 空间力系的平衡及重心第五节 物体的重心及其求法 一物体重心的概念地球上的物体都受到地球的吸引力，这个吸引力就是重力。严格地讲，物体的重力是一个分布力，分布在物体的各个部分，我们通常所说的重力是指这个分布力的合力。可以证明，无论物体如何放置，其重力(合力)均通过一个确定的点，这个点就是物体的重心。重心是力学中的一个十分重要的概念，在工程实际中有着很重要的意义。物体的平衡和稳定，物体旋转时振动的大小等均涉及到重心的位置。二物体重心坐标公式1物体重心坐标的一般公式假象地将物体分割成若干个微小部分，每部分的重力分别为DG1DG2DGn，各力的作用点的坐标分别为(x1，y1，z1)(x2，y2，
2、z2)(xn，yn，zn)，该物体的重力G=DG1+DG2+DGn 。由合力矩定理可得其重心坐标公式为： 2均质物体重心坐标公式设均质物体的密度为r，体积为V，则其重力G=rVg，每一微小部分的重力Gi=rVig，将此关系代入式(4-8)，可得均质物体的重心坐标公式：3均质薄板的重心坐标公式设均质薄板的厚度为d，面积为A，则其体积V=dA，Vi=dAi，将此关系代入式(4-9)，可得均质薄板的重心坐标公式：可见，对均质物体而言，其重心位置完全取决于其几何形状，而与其重量无关，物体的重心就是其形心。三物体重心(形心)的求法1查表法对于简单几何形状的均质物体，其重心可从有关手册中查到，可直接查表。
3、见表4-2。2对称法对于具有对称面对称轴或对称中心的均质物体，其重心就在对称面对称轴或对称中心上。若物体有两个对称面，则其重心就在这两个对称面的交线上；若物体有两个对称轴，则其重心就在这两个对称轴的交点上。3实验法实验法具有直接简便的特点，在工程实际中，常采用实验的方法测定复杂形状物体的重心。(1)悬挂法如图所示，任选一点A将物体悬挂起来，并在物体上过A点做铅垂线AA，再选另外一点B按同样方法画出铅垂线BB，则AA与BB的交点即为物体的重心。观看视频(2)称重法 如图所示，先称出物体的重量G，然后将其一端用固定支点支承，另一端支于磅称上，读出磅称的读数，并量出两支点之间的水平距离l，就可以根据
4、平衡方程求出重心的位置。 4组合法如果物体的形状较复杂，可将其看成是几个形状简单重心易求的物体组合而成。分别求出每一部分的重力和重心坐标，然后利用重心坐标公式求出整个物体的重心。例题： 试求图 所示平面图形的形心。解：建立直角坐标系Oxy如图。将图形分割为两个矩形，其面积分别和形心坐标分别为：由形心坐标公式得：若复杂图形是在一个简单图形上切去另外一个简单图形，则可采用负面积法。例题：试求图所示阴影部分的形心。已知。解：建立直角坐标系Oxy如图，因该图形相对于y轴对称，故。图示阴影部分可看成是由以下三部分组成：(1)半径为的半圆，面积和形心坐标为：， (2)半径为的半圆，面积和形心坐标为：， (
5、3)挖去半径为的圆，面积和形心坐标为：， 代入形心坐标公式得：拆分词条 重心科技名词定义中文名称：重心 英文名称：center of gravity 定义：在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成质点的重力的合力都通过的那一点。 以上内容由全国科学技术名词审定委员会审定公布 重心重心，是在重力场中，物体处于任何方位时所有各组成质点的重力的合力都通过的那一点。规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心。不规则物体的重心，可以用悬挂法来确定。物体的重心，不一定在物体上。另外，重心可以指事情的中心或主要部分。词语解释词目：重心 拼音：zhng xn 基本解释 1. centre of gravity物
6、体各部分所受重力的合力作用点 规则而密度均匀物体的重心就是它的几何中心 2. core指事情的核心或主要部分 详细解释 1. 力学上指物体各部分所受重力的合力的作用点。 叶紫 夜雨飘流的回忆二：“我的鞋子很滑，跑起来常常使我失掉重心，而几乎跌倒。” 2. 事情的中心或主要部分。 孙中山解释自由在湖北军政界代表欢迎会演说词：“未统一以前，政事、军事皆极重要，而统一以后，则重心又移在社会问题。” 郭沫若洪波曲第十四章四：“但在这个会议之后，军政重心又暂时移到衡山去了。” 3. 几何学上指三角形的三条中线相交的交点。 物理术语定义：一个物体的各部分都要受到重力的作用。从效果上看，我们可以认为各部分受
7、到的重力作用集中于一点，这一点叫做物体的重心。 物体重心位置及确定 物体的重心位置，质量均匀分布的物体（均匀物体），重心的位置只跟物体的形状有关。有规则形状的物体，它的重心就在几何中心上，例如，均匀细直棒的中心在棒的中点，均匀球体的重心在球心，均匀圆柱的重心在轴线的中点。不规则物体的重心，可以用悬挂法来确定.物体的重心,不一定在物体上。 质量分布不均匀的物体，重心的位置除跟物体的形状有关外，还跟物体内质量的分布有关。载重汽车的重心随着装货多少和装载位置而变化，起重机的重心随着提升物体的重量和高度而变化。 过重心的一条直线或切面把物体或图形分成两份，则两份的体积或面积不一定相等。（不是所有过重心
8、的直线或切面都平分物体或图形的面积或体积，例如过正三角形重心且平行一边的一条直线把三角形分成面积比为4：5的两部分。关于这一点，可以用物理学的杠杆原理解释：分成的两块图形的重心分别到三角形重心的距离相当于杠杆的两个力臂，而两图形的面积相当于杠杆的两个力。因为重心相当于两个图形的面积“集中”成的一点（参考重心定义）。如以上的例子，分割成的两个图形重心分别到三角形重心的距离正好等于5：4。如有兴趣，可用几何画板软件画图证明。） 物体重心位置的数学确定方法： 在某物体（总质量为M）所在空间任取一确定的空间直角坐标系O-xyz，则该物体可微元出i个质点，每个质点对应各自坐标(xi,yi,zi)及质量m
9、i， 已知M=m1+m2+mi，设该物体重心为G(X，Y，Z) 则X=(x1m1+x2m2+ximi)/M Y=(y1m1+y2m2+yimi)/M Z=(z1m1+z2m2+zimi)/M 作用凡人有四肢躯干。头为首。其站立俯仰。亦各有姿势。姿势立。则生重心。重心稳固。所谓得机得势。重心失中。乃有颠倒之虞。即不得机。不得势也。拳术，功用之基础。则在重心之稳固与否。而重心又有固定与活动之分。固定者。是专主自己练习拳术之时。每一动作。一姿势。均须时时注意之。或转动。或进退皆然。重心与虚实本属一体。虚实能变换无常。重心则不然。虽能移动。因系全体之主宰。不能轻举妄动。使敌知吾虚实。又如作战然。心为令
10、。气为旗。腰为纛。 太极拳以劲为战术。虚实为战略。意气为指挥。听劲为间牒。重心为主帅。学者。应时时揣摸默识体会之。此为斯道全体大用也。重心活动之谓。系在彼我相较之间。虽在决斗之中。必须时时维持自己之重心。而攻击他人之重心。即坚守全军之司令。而不使主帅有所失利也。 三角形的重心重心是三角形三边中线的交点，三线交一点可用燕尾定理证明，十分简单。证明过程又是塞瓦定理的特例。 三角形重心已知：ABC中，D为BC中点，E为AC中点，AD与BE交于O，CO延长线交AB于F。求证：F为AB中点。 证明：根据燕尾定理，SAOB=SAOC，又SAOB=SBOC，SAOC=SBOC，再应用燕尾定理即得AF=BF，
11、命题得证。 重心的几条性质： 1.重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1。 2.重心和三角形3个顶点组成的3个三角形面积相等。 3.重心到三角形3个顶点距离的平方和最小。 4.在平面直角坐标系中，重心的坐标是顶点坐标的算术平均，即其坐标为(X1+X2+X3)/3,(Y1+Y2+Y3)/3)；空间直角坐标系横坐标：(X1+X2+X3)/3 纵坐标：(Y1+Y2+Y3)/3 竖坐标：（Z1+Z2+Z3）/3 5.重心和三角形3个顶点的连线的任意一条连线将三角形面积平分。 证明：刚才证明三线交一时已证。 6.重心是三角形内到三边距离之积最大的点。 其它规则图形的重心注：下面的几何体都是均
12、匀的，线段指细棒，平面图形指薄板。 三角形的重心就是三边中线的交点。 线段的重心就是线段的中点。 平行四边形的重心就是其两条对角线的交点，也是两对对边中点连线的交点。 平行六面体的重心就是其四条对角线的交点，也是六对对棱中点连线的交点，也是四对对面重心连线的交点。 圆的重心就是圆心，球的重心就是球心。 锥体的重心是顶点与底面重心连线的四等分点上最接近底面的一个。 四面体的重心同时也是每个定点与对面重心连线的交点，也是每条棱与对棱中点确定平面的交点。 寻找重心的方法下面是一些寻找形状不规则或质量不均匀物体重心的方法。 a.悬挂法 只适用于薄板（不一定均匀）。首先找一根细绳，在物体上找一点，用绳悬
13、挂，划出物体静止后的重力线，同理再找一点悬挂，两条重力线的交点就是物体重心。 b.支撑法 只适用于细棒（不一定均匀）。用一个支点支撑物体，不断变化位置，越稳定的位置，越接近重心。 一种可能的变通方式是用两个支点支撑，然后施加较小的力使两个支点靠近，因为离重心近的支点摩擦力会大，所以物体会随之移动，使另一个支点更接近重心，如此可以找到重心的近似位置。 c.针顶法同样只适用于薄板。用一根细针顶住板子的下面，当板子能够保持平衡，那么针顶的位置接近重心。 与支撑法同理，可用3根细针互相接近的方法，找到重心位置的范围，不过这就没有支撑法的变通方式那样方便了。 d.用铅垂线找重心（任意一图形，质地均匀）
14、用绳子找其一端点悬挂，后用铅垂线挂在此端点上（描下来）。而后用同样的方法作另一条线。两线交点即其重心。Proe里面求重心的方法分析-模型-质量属性，在默认坐标系下，默认“使用缺省值”，点击眼镜标识，可以得到模型的体积、曲面面积、平均密度、质量，并根据坐标确定重心坐标值；点击右边的“i”,还可以得到相关窗口信息，还可以作为文件保存。n. t如果需要相对某坐标系的相对重心，则去掉“使用缺省值”，选择需要的坐标系，同样操作。$ N/ h7 F- D+ p- x$ I/ U 还可以指定方式（指定密度、质量等方式），来到的需要的质量、重心数据。分析模型质量重心然后在菜单中选中：定义，点系统坐标系，然后就会出现质量重心，如果想让重心坐标显示在模型中，可在基准下勾选基准下的两个选项即可
