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1、概率论与数理统计复习第一章一、关于“样本空间、随机事件、频率的概念，随机事件之间的关系与运算”的题目1. 如果，则（ D ）不成立。（A）； （B）；（C）A，B相容； （D）A，B不相容.2. 设A，B为任意两个事件，且，则下面选项必然成立的是（ B ）（A）；（B）；（C）；（D）3. 设则（ A ）（A） （B）且 （C） （D）或4. 已知事件A发生必定导致事件B发生，且，则 0 . 5. 设，则下列结论正确的是（ A ）（A）A与B独立； （B） A与B互斥； （C） ；（D）A与B对立6设P(AB)=0, 则下列命题正确的是 D .(A)A与B不相容 (B)A与B独立 (C)P(A
2、)=0或P(B)=0 (D)P(AB)=P(A).二、关于“概率的基本性质及加法定理；概率的公理化定义”的题目7已知事件A与事件B相互独立，则或.8设当事件A与B同时发生时，事件C必发生，则（ B ）（A） （B） （C） （D）9. 设A，B为两个任意事件，则使减法公式 成立的为（ C ）（A） （B） （C） （D）10设A，B为两个互不相容的事件，则（ B ）一定成立（A） （B） （C） （D）11 设A与B为两个随机事件，且， 则 ( A ) 一定成立（A） （B） （C） （D）12设两两相互独立的三事件A，B，C满足ABC=，P(A)=P(B)=P(C)1/2,且已知P(ABC)
3、=12/25.则P(A)= .三、关于“古典概型的概率”的题目13 设袋中有a只黑球，b只白球，每次从中取出一球，取后不放回，从中取两次，则第二次取出白球的概率为（D ）（A）（B）（C）（D）14. 袋中装有5个白球.3个黑球,4个红球.从中一次取出三个球,则三个球是同色的概率为。四、关于“条件概率,乘法公式.全概率公式和贝叶斯公式”的题目15甲、乙两人独自地向同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被射中，则它是甲射中的概率.解：16有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别为0.3、0.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别为1
4、/4、1/3、1/12，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？解: 设, , ,则由已知条件可知 所求概率为 17. 一种设备使用到2000小时不能正常工作的概率为0.06,使用到3000小时不能正常工作的概率为0.13,求已经工作了2000小时的设备能继续工作到3000小时的概率.解: 设A=使用到3000小时能正常工作 B=使用到2000小时能正常工作则 , 故 ， 18、已知男子有5%是色盲患者，女子有0.25%是色盲患者。今从男女人数相等的人群中随机地挑选一人，恰好是色盲患者，问此人是男性的概率是多少？解: 设 则由已知条件得 所求概率为 19、 有两箱同种类的
5、元件，第一箱装50只，其中10只为一等品；第二箱装30只，其中18只为一等品；今从两箱中选出一箱，然后从该箱中作不放回抽样两次，每次一只。求（1）第一次取出的元件是一等品的概率；（2）在第二次取得一等品的条件下，第一次取到的也是一等品的概率。 解 设任选一只元件属于第i个箱子，第i次抽得一等品，由全概率公式，有（1）=（2）=，20、玻璃杯成箱出售,每箱装有10只玻璃杯.假设各箱含0只,1只和2只次品的概率分别为0.9,0.06,0.04.一顾客要买一箱玻璃杯,售货员随意取出一箱,顾客开箱随机取出3只,若这3只都不是次品,则买下该箱杯子,否则退回.求(1)该顾客买下该箱玻璃杯的概率;(2)在顾
6、客已买下的一箱中,确实没有次品的概率.解: 设箱中恰好有i件次品 A=顾客买下所查看的一箱 由题意知: , 由全概率公式 由贝叶斯公式 五、关于“事件的独立性”的题目21设A与B是相互独立的随机事件，满足P(A)=0.3, P()=0.7 ,则P(B)= .22 对同一目标进行三次射击,第一,二,三次射击的命中概率分别为0.4,0.5,0.7.试求至少有一次击中目标的概率.解: 设=第i次击中目标 A=至少有一次击中目标则 第二章一、关于“离散型随机变量的概率” 的题目1设X的概率分布为则.2设离散型随机变量X的分布律为其中为常数，则c=（D ）（A） （B） （C） （D）3设在三次独立试验
7、中，事件A出现的概率相等，若已知A至少出现一次的概率等于19/27，则事件A在一次试验中出现的概率是 4. 已知随机变量X服从参数为的泊松分布, 且, .5设随机变量的分布律为则。6掷两枚均匀硬币，设出现正面次数为X，则X的概率分布律为X 0 1 2p 0.250.50.25二、关于“连续型随机变量的概率”的题目7设某种电子管的寿命具有概率密度.问150小时内,上述三只电子管没有一只损坏的概率是多少?三只电子管全损坏的概率又是多少? 解 : 设一只管子的寿命为,则一只管子在150小时内损坏的概率 P150小时内三只管子没有一只损坏= P150小时内三只管子全损坏=8. 设随机变量X与Y同分布，
8、X的概率密度为 已知事件和相互独立，且.试求常数.解: 由于X与Y同分布，且和相互独立，所以，=，解得.而=. 所以.三、关于“分布函数”的题目9、设是连续型随机变量X的分布函数，则下列结论不正确的是（ B ）(A) 是不减函数 (B) 不是不减函数(C) 是右连续的 (D) 10、假设随机变量X的分布函数为，概率密度为，若X与有相同的分布函数则（ C ）（A）= （B）= （C） （D）11设随机变量X的分布律为 X 0 1 ，则X的分布函数为p 1/3 2/33/52/53-2pX12设离散型随机变量X的分布函数为则随机变量X的分布律为 。13. 设10件产品中恰有2件次品，现在接连进行非
9、还原抽样，每次抽一件直到取到正品为止。求（1）抽取次数X的概率分布律；（2）X的分布函数；（3），；解: 因为10件产品中恰有2件次品，所以最多抽取3次就可以取到正品，因此X的可能取值为1，2，3。（1）； （2）X的分布函数为（3）由X的概率分布律知， 14. 已知离散型随机变量X的分布函数为： 试求X的概率分布律，并计算.解: X只取四个值，由于得到15. 随机变量X的概率密度为则X的分布函数F(x)= . 16. 设随机变量X的密度函数为试求常数的值，并求X的分布函数. 解: 由，得解得（其中不合题意，舍去）X的分布函数为 17. 已知随机变量X的概率密度为 .已知. 求: (1) 常数
10、a,b的值. (2) X的分布函数F(x). (3)Y=X 3的概率密度函数.解:(1) 因为 而且 解上述方程,得 (2) 由于 当 时, 当时, 当时, 当, 所以有 (3) Y的分布函数为 则当时, 当 时 , 其他, 综上得 四、关于“六个常见分布”的题目。18设，则其概率密度为 ，19. 若随机变量X服从均值为2,方差为的正态分布,且,则 0.2 .20.某人上班有两条路可走，第一条路所需时间，第二条路所需时间。求：若他提前1小时去上班，走哪条路迟到的可能性小？附表： 解：因为，所以110.97720.1228 110.99380.0062 因此走第二条路迟到的可能性小。五、关于“简
11、单的随机变量函数的概率分布”的题目。21. 知随机变量X的概率分布律为X-1012p0.200.250.300.25则的概率分布律为Y41-2-5p0.200.250.300.2522. 已知随机变量，求（1）的分布律；（2）的分布函数。 解: X的可能取值为0,1,2,3 . 所以Y=|X-1|的可能取值为0,1,2则（1）Y的分布律为 Y 0 1 2 即 Y 0 1 2 （2）Y的分布函数为 23. 设随机变量X服从1,5上的均匀分布，求的密度函数。解： X的密度函数为 的分布函数 当时， 当时， 当，即时， 当，即时， 当，即时，故的密度函数为24. 设随机变量，求的概率密度。 解: 由
12、题意知， 当时 , 当时 , 所以 25. 随机变量X服从参数为2的指数分布，求随机变量的分布函数. 解： X的分布函数为当，即时，；当，即时，；当，即时，当时，所以 26. 设随机变量X的概率密度函数为，求随机变量的概率密度函数。解: 第三章一、关于“二维随机变量的联合分布函数、联合分布律、联合概率密度”的题目1.两个随机变量X与Y相互独立且 则下列各式成立的是（ A ） （A） （B） （C） （D）2. 把一枚硬币连掷三次，以表示在三次中正面出现的次数，表示在三次中出现正面的次数与出现反面的次数之差的绝对值，试求（，）的联合概率分布。 解：将硬币连掷三次出现三次反面时，二维随机变量（X，Y）的取值为（0，3）；出现一次正面两次反面时，（X，Y）的取值为（1，1）；出现两次正面一次反面时，（X，Y）的取值为（2，1）；出现三次正面时，（X，Y）的取值为（3，3），并且 ， ， X Y 0 1 2 3 1 0 0
