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1、第26章 二次函数26.1二次函数及其图像一、.二次函数定义：一般地，如果是常数，那么叫做的二次函数.例：如果函数是二次函数，那么m的值为 。解题思路：由二次函数定义则m=0【同步练习】、在圆的面积公式 Sr2 中，s 与 r 的关系是（）A、一次函数关系 B、正比例函数关系 C、反比例函数关系 D、二次函数关系、已知函数 y(m2) 是二次函数，则 m 等于（）A、2B、2C、2D、 答案：1.D 2.B二、二次函数的图像（1）抛物线的顶点是坐标原点，对称轴是轴.（2）函数的图像与的符号关系. 当时抛物线开口向上顶点为其最低点；当时抛物线开口向下顶点为其最高点.（3）顶点是坐标原点，对称轴是
2、轴的抛物线的解析式形式为.例：二次函数与一次函数的图象相交于点（1，1）。（1）求二次函数解析式为，（2）求若一次函数的图像还过点（2、-3），求一次函数解析式（3）求二次函数和一次函数的图像另一个交点为【同步练习】1、将抛物线 y2x2 向下平移 2 个单位，所得的抛物线的解析式为。2、把抛物线向右平移2个单位得到的抛物线是( )A、 B、 C、 D、三、二次函数的图像的图象的图象 的图象例：已知二次函数，(1) 用配方法把该函数化为 (其中a、h、k都是常数且a0)形式，并画出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称轴和顶点坐标.(2) 求函数的图象与x轴的交点坐标.【同步练习】1、将 yx
3、22x3 化成 ya (xm)2k 的形式，则 y 。2、抛物线的顶点坐标是 ，对称轴是 ，开口向_。3抛物线的开口方向是 ；对称轴是 ；顶点为 。4.已知二次函数.（1）用配方法化为的形式.（2）写出它的顶点坐标和对称轴，并画出它的图象.（3）根据图像指出：当取何值时，随值的增大而减小. 当取何值时，有最大（小）值，值是多少？四、二次函数1、二次函数 的图像是对称轴平行于（包括重合）轴的抛物线.2、二次函数用配方法可化成：的形式，其中.例、请研究二次函数的图象和性质：开口方向： 对称轴： 顶点坐标： 图象与x轴的交点坐标： 图象与y轴的交点坐标： 图象与y轴的交点关于对称轴的对称点的坐标：
4、用五点法画函数的草图求这个函数的最值，当x= 时， 当 时；y=0，当 时，y0；当 时，y0。图象在x轴上截得的线段的长是： 求图象与坐标轴交点所围成的三角形的面积： 根据图像回答：当x 时，y随x的增大而增大，当x 时，y随x的增大而减小。【同步练习】、把抛物线y先向 平移 个单位，再向 平移 个单位的。2.二次函数的最小值是（ ）A.2 B.2 C.1 D.13.二次函数的图象的顶点坐标是（ ）A.（1,3） B.（1,3） C.（1,3） D.（1,3）五、用待定系数法求二次函数的解析式1、二次函数解析式的三种形式：一般式：，顶点坐标： 对称轴：直线 当x= 时，= 顶点式：，顶点坐标
5、：（ ， ）对称轴：直线 当x= 时，= 两根式：，其中是=0的两个实数根，图象与x轴的两个交点坐标为（ ， ）和 （ ， ） 例1：如图，二次函数的图象与轴交于A、B两点，与轴交于点C，点C、D是二次函数图象上的一对对称点，一次函数的图象过点B、D（1）求D点的坐标（2）求一次函数的解析式（3）根据图象写出使一次函数值大于二次函数的值的的取值范围例2：（2008江苏镇江）二次函数的图象经过点，（1）求此二次函数的关系式；（2）求此二次函数图象的顶点坐标；（3）填空：把二次函数的图象沿坐标轴方向最少平移 个单位，使得该图象的顶点在原点【同步练习】1已知一个二次函数的图象经过点（0，0），（1，
6、3），（2，8）。（1）求这个二次函数的解析式；（2）写出它的对称轴和顶点坐标。（2004常州）2已知二次函数的图象经过点（2，0）、（-1，6）。（1）求二次函数的解析式；（2）画出它的图象；（3）写出它的对称轴和顶点坐标。（2003常州）3.有一个运算装置，当输入值为x时，其输出值为，且是x的二次函数，已知输入值为,0,时, 相应的输出值分别为5,（1）求此二次函数的解析式；（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象,并根据图象写出当输出值为正数时输入值的取值范围. 26.2用函数观点看一元二次方程求二次函数y=ax2bxc图象与x轴交点，即令y=0，求出方程ax2bxc=0的两个实数根
7、，这两个根就是焦点的横坐标。从而转化为方程的根，再应用根的判别式，求根公式判断，求解即可，例1.已知二次函数y=kx27x7的图象与x轴有两个交点，则k的取值范围为：例2.抛物线y=ax2bxc与x轴交于点A（3，0），对称轴为x=1，顶点C到x轴的距离为2，求此抛物线表达式例3已知抛物线y=mx2（32m）xm2（m0）与x轴有两个不同的交点（1）求m的取值范围；（2）判断点P（1，1）是否在抛物线上；（3）当m=1时，求抛物线的顶点Q及P点关于抛物线的对称轴对称的点P的坐标，并过P、Q、P三点，画出抛物线草图【同步练习】1、抛物线与轴有个交点，相应二次方程的根的情况为2、关于的方程有两个相
8、等的实数根，则相应二次函数与轴必然相交于点，此时3、根据下列表格中二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数值y的对应值，判断方程ax2+bx+c=0（a0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是（ ） x6.176.186.196.20y=ax2+bx+c-0.03-0.010.020.04A6x6.17 B6.17x6.18 C6.18x6.19 D6.19x6.204、画出函数的图象，根据图象回答下列问题（1）图象与x轴、y轴的交点坐标分别是什么？（2）当x取何值时，y=0？这里x的取值与方程有什么关系？（3）x取什么值时，函数值y大于0？x取什么值时，函数值y小于0？26.3实际问题与
9、二次函数例1、(2008 山东 聊城)如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）例1题图（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由例2、（
10、2008年山东省青岛市）某服装公司试销一种成本为每件50元的T恤衫，规定试销时的销售单价不低于成本价，又不高于每件70元，试销中销售量（件）与销售单价（元）的关系可以近似的看作一次函数（如图）（1）求与之间的函数关系式；（2）设公司获得的总利润（总利润总销售额总成本）为P元，求P与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；根据题意判断：当x取何值时，P的值最大？最大值是多少？4003006070y(件)x(元)【同步练习】1. 已知抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C是否存在实数a，使得ABC为直角三角形若存在，请求出a的值；若不存在，请说明理由2. 某广告公司要为客户设计一幅周长为
11、12m的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？3利达经销店为某工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）当每吨售价为260元时，月销售量为45吨该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月
12、销售量；（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？（4）小静说：“当月利润最大时，月销售额也最大”你认为对吗？请说明理由4如图，有一座抛物线形拱桥，在正常水位时水面AB的宽是20米，如果水位上升3米时，水面CD的宽为10米. (1)建立如图所示的直角坐标系，求此抛物线的解析式.(2)现有一辆载有救援物质的货车从甲地出发，要经过此桥开往乙地，已知甲地到此桥为280千米(桥长忽略不计)，货车以每小时40千米的速度开往乙地，当行驶1小时时，忽然接到紧急通知，前方连降大雨，造成水位以每小时0.25米的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处)，当水位达到桥拱最高点O时，禁止车辆通行.试问：汽车按原来速度行驶，能否安全通过此桥？若能，请说明理由；若不能，要使货车安全通过此桥，速度应超过多少千米/时？5.(2008兰州)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图1所示),拱高6m,跨度20m,相邻两支柱间的距离均为5m.(1)将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图2所示),求抛物线的解析式;(2)求支柱的长度；(3)拱桥下地平面是双向行车
