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1、共线向量定理的推论的推广及应用贵州织金一中 龙瑞华最近几年的高考试题中，很多题目都是以向量知识为背景，向量知识成高考的热点。在高二下册B版本的课本第九章第五节中讲到共线向量定理的推论。下面就该推论的推广在解题中的应用加以探究。一、推论的叙述及变式。图（一）B P AOra如果l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，那么对任一点O，点P在直线l上的充要条件是存在实数t，满足等式： 在l上取，则（1）式可化为 因为 由（2）式可看出等号的左边向量的系数1刚好等于右边的向量与的系数之和1-t+t，由推论易知此时A、B、P三点同在一条直线上。O为直线外一点，即P为OAB边AB上的点，线段OB、O
2、P、OA是有共同端点的三条线段，另外的三个端点都在同一条线上。线段OP刚好是三条线段中的中间一条，它所表示的向量，在等式中，左边系数之和=右边系数之和。二、推论的推广由共线向量定理的推论，我们可以得到如下结论：结论一：在ABC中，D为BC边上的点，如果AB x D y C，则以A点为起点的三个向量的中间一个向量=。图（二）证明：即可证明。结论二：共起点的三个向量如果它们的终点在同一条直线上，那么用其中二个向量表示另一个向量时，左边系数之和等于右边系数之和。图（四）B E CAD图（三）B E CAD结论三：在结论一中如果点D不在边BC，是在三角形ABC的内部或外部，在图（三）中，则 ，在图（四
3、）中，则 ，证明先找到AD与BC的交点，转化为第一种情形，即三点在同一条直线上，再应用向量共线定理进行转化。三、应用举例例1、（2010年全国卷二）ABC中，点D在边AB上，CD平分ACB，若，则=（ ）A、 B、C、 D、分析：本题就是考查共线向量定理推论的一道典型题目，只要画出图，应用上面的结论一，便可解之，迅速得出正确答案。由题目可知，A、D、B三点共线，满足推论，所以左边系数之和等于右系数之和，向量系数为1，所以排出C、D答案。A D BC解析：如图由角平分线性质定理知：即技巧点拨：本题应用了两个重要的知识点，一、共线向量定理的推论，即：，二、角平分线的性质定理，即ABC中，D在AB上
4、，如果CD平分ACB，则.例2：（2010年湖北卷）已知ABC和点M满足，若存在实数m使得成立，则m=A、2 B、3 C、4 D、5分析：此题最易犯错选择A答案。应用左边系数之和等于右边系数之和的条件是：三点要共线，但此题的B、C、M三点不共线，因此不能选择A答案，但我们可以延长AM与BC相交，找到交点，从而出现三点共线，从而迅速解决问题。解析：如图，由DCABM知M为ABC的重心，延长AM交BC于D，易知D为BC中点，因B、D、C共线。所以由重心性质知所以所以选B答案。例3、（2009年湖南卷）如图，两块斜边长相等的直角三角板，拼在一起，若，则x= ，y= 45DC分析：因B、C、D三点不共线6060E所以不能直接使用共线定理的60BA推论，延长CA与DB相交于C1点便可解之。C1解析：延长CA与DB相交于C1点，不妨设AC=AB=，则CB=2=DE因为DEB=60BE=1，DB=由平面几何知识可知，AC1=AC=,C1B=2 又因化简得： 例4：已知等差数列的前n项和为，若且A、B、C三点共线，（该直线不过点O），则=（ ）A、100 B、101 C、200 D、201解析：由结论二知， 选择A
