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1、新力学习题答案（四）41.如本题图，一质量为m的质点自由降落，在某时刻具有速度V。此时它相对于A、B、C三参考点的距离分别为dd2、d3。求v（1）质点对三个点的角动量；（2）作用在质点上的重力对三个点的力矩。解：（1）J=r,mvJ=dmv（方向垂直纸面向里）A1J=dmvsin=dmv（方向垂直纸面向里）B21J=dmvsinO=0C3（2）M=r,F=r,mgM=dmg（方向垂直纸面向里）A1M=dmgsin=dmg（方向垂直纸面向里）B21M=dmgsinO=0A342.质量为m的粒子位于（x,y）处，速度为v=vivj,并受到一个沿-x方向xy的力f。求它相对于坐标原点的角动量和作用
2、在其上的力矩。解：J=r,mv=xiyj,mivj丿（Ixy=mxv一myvkyXLj（jM=r,F=r,fmg丿=xiyj,-fi一mgk7八八八=xmgjyfkymgi43电子的质量为1,10-31kg，在半径为3,10-11m的圆周上绕氢核作匀遊运动。已知电子的角动量为/2兀（为普朗克常量，等于63,10-34Js）,求其角速度。解：依题有：hJ=Rmv=mR23=2兀=-=6.63x10-34v=1.13,1017瓜/秒）2兀mR22,314,91,10-31,1.3,10-11仏44.如本题图，圆锥摆的中央支柱是一个中空的管子，系摆锤的线穿过它我们可将它逐渐拉短。设摆长为l时摆锤的线
3、速度为v,11的速度v为多少？圆锥的顶角有什么变化？2解：分析：摆锤受到绳子张力和重力的作用，此二力对过O沿管子方向均无力矩分量,lvsinO1-11lsinO所以过O沿管子方向（即竖直方向）上角动量守恒。I vsinO=lvsinOII 122222摆锤作圆周运动当顶角为O时有：TcosO=mgTsinO=竺、rmv2lsinO两式相除得:tgOsinO=-gltgOsinOv2l11=2tgOsinOv2l2221v2ll3sin2O2=22lvsinOsin2O亠1l11lsinO丿i22tgOsin3Ol311=-2tgOsin3Ol3221OO12又ll21（顶角变井45.如本题图，
4、在一半径为R、质量为m的水平转台上有一质量是它一半的玩具汽车。起初小汽车在转台边缘，转台以角速度绕中心轴转动。汽车相对于转台沿径向向里开，当它走到R/2初时，转台的角速度变为多少？动能改变多少？能量从哪里来？解：由汽车和转台组成的系统角动量守恒。m1m起初：J=IRv=mR2RR=mR22汽22汽车走到2时:Rm1mRR转22汽切向242=mR28又：j=j8”=5转转台动能改变为：“e=21转221转211mR222(8)_15丿2丿mR220100能量从汽车对转台的摩擦力作功而来。46在上题中若转台起初不动，玩具汽车沿边缘开动，当其相对于转台的速度达到v时转台怎样转动？解：对速度产生影响的
5、是汽车与转台之间的摩擦力。对系统而言，摩擦力是内力。设汽车的速度为v,转台边缘的速度为V,则:12V，V=V(1)12V21m1V2+I22212转1m11v2+mR22212211=mV2=2折合22即:V2+V2=V2(2)123由(1)(2)n6v2+6vv+v2=022v=土3v即转台沿相反的方向转动.2647.两质点的质量分别为m叫(m大于叫)，栓在一根不可伸长的绳子的两端，以角速度在光滑水平桌面上旋转。它们之中哪个对质心的角动量大？角动量之比为多少？解：先求质心位置：r+r=l12mr=mr1122“r“1n“r“1设,m距质心分别为与r,则有:1212m=2lm+m12m=ilm
6、+m12两质点对质心的角动量:2又:48.=mr2=miii=mr2=m222mi2在上题中，:.JJi2若起初按住m2不动，让m绕着它以角速度旋转。然后突然将m2解：突然放开m后，m、m组成的系统在水平方向不受力,212总动量守恒:mv11=ml=(m+m112nvc即质心作匀速直线运动mlm+m12放开，求以后此系统质心的运动，绕质心的角动量和绳中的张力。设绳长为。2m2Im+m12milm+mmr2,iimm,21Im+mi2mmmi212,2m+m力i2mr2,22m2m1m+mi2mmmi212,1m+m上i2突然放丽后的那一瞬间，系统对心角动量守恒212先求质心位置：设,m距质心分
7、别为与厂，则有：r+rl12mrmr112212两质点对质心的角动量：mmJJ+J1212,12m+m12mv2mm绳中的张力：0m,2rir11m+m11249.两个滑冰运动员，体重都是60kg,他们以6.5m/s的速率垂直地冲向一根10m长细杆的两端，并同时抓住它，如本题图所示。若将每个运动员看成一个质点，细杆的质量可以忽略不计。(1) 求他们抓住细杆前后对于其中点的角动量；(2) 他们每人都用力往自己一边收细杆，当他们之间距离为5.0m时，各自的速率是多少？(3) 求此系杆中的张力；(4) 计算每个运动员在减少他们之间距离的过程中所作的功，并证明这功恰好等于他们动能的变化。解：两人和杆组
8、成的系统角动量守恒，质心在杆的中点。各运动员在抓住杆前后对杆中点的角动量不变均为:J|rxmVrmv5.0x60x6.51950xgm2/s丿(2)在运动员往自己边收杆的过程中，角动量守恒2J2Jv2v13m/srrmvrmvmv2此时绳子的张力：T巴兰60x1324056Nr5.0/2每位运动员动能的变化“EmC2-v2223802.5焦耳410在光滑的水平桌面上，用一根长为的绳子把质量为m的质点联结到一固定点O。起初，绳子是松弛的，质点以恒速率v0沿一直线运动。质点与O最接近的距离为b,当此质点与O的距离达到时，绳子就绷紧了，进入一个以O为中心的圆形轨道。（1）求此质点的最终动能与初始动能
9、之比。能量到哪里去了？（2）当质点作匀速率圆周运动后的某个时刻，绳子突然断了，它将如何运动？绳断后质点对O的角动量如何变化？解:E=丄mv2初20E=m(vsin=1终2mv2sin220E终=sin21E初2）绳突然断后由于无外力作用其它能量转变成绳的弹性势能。m将作直线运动（重力与支持力相抵消），所以m对O的角动量不变,为:J=lmvsin0411.图中O为有心力场的力心，排斥力与距离平方成反比：f=k/r2（k为一常量）。（1）求此力场的势能；（2）一质量为m的粒子以速度v0、瞄准距离b从远处入射，求它能达到的最近距离和此时刻的速度。解：0厂处的势能：E=f-dr=kdr=-prrr2r
10、(这是取无穷远处为势能零点的)(2)设最近距离为：1 k1机械能守恒:mv2=+_mv2(a)2 0R2角动量守恒:mvb=mvR(b)0+2+m2v4b2由(a)(b)求出：R=0mv20mbv3v=0+2+m2v4b20解：d)r初的势能：E，卜f-dr，卜dr，-rr2r机械能守恒：mv2,k1_+mv2R2(a)412在上题中将排斥力改为吸引力，情况如何？pr这是取无穷远处为势能零点的)(2)设最近距离为b：(2)角动量守恒：mvb，mvR(b)0一k+k2+m2v4b2由(a)(b)求出：R，0mv20mbv3V，0一k+k2+m2v4b20413如果由于月球的潮汐作用，地球的自转从
11、现在的每24小时一圈变成每48小时一圈试估计地球与月球之间的距离将增为多少？已知地球的质量为M沁6x1024kg,地球半径为R，6400km田田月球的质量为M沁7xIO22kg,地月距离为l，3.8x105km解：月球绕地球转的周期与地球自转的周期相同。GMMF，田一月，M2l地月l2月(GM)1/3nl，田(2丿(GM)1/3田I2丿(GM)1/3田()2/3、丿(24/2兀丫/3.48/2兀丿，22/3(2)(2)l，2-2/3l，2-2/3x3.8x105，414一根质量可以忽略的细杆，长度为,两端各联结质量为m的质点，静止地放在光滑的水平桌面上。另一质量相同的质点以速率v0沿450角与
12、其中一个质点作弹性碰撞，如本题图所示。求碰后杆的角速度。(2)解：碰撞前后由二质点组成的系统（c是杆上两质点的质心）:22ml212丿动量守恒：mvmv+2mv0c机械能守恒丄mv2mv2+I2+bmv22022c2c即：V2v2+122+v202c对质心的角动量守恒:msin45oC-v)=I丄ml2,平0c211)和2v=21vc0由(1)(2)1）(2)(3)(2)(2)22v=031415.质量为M的均匀正方形薄板，边长为L,可自由地绕一铅垂边旋转。一质量为m、速度为v的小球垂直于板面撞在它的对边上。设碰撞是完全弹性的，问碰撞后板和小球将怎样运动？解：板对铅垂边的转动惯量：在距离铅垂边为x处，取小矩形：宽为dx,长为L的面元。则:dm=”ds=”Ldx=“x2dm=“Lox2”Ldx=”L4=3(2)碰撞前后：机械能守恒：1 mv2=1mv2+I22 22=1mv2+1ML2226(1)(2)对铅垂轴角动量守恒：mvL=mvL+1=mvL+1ML236mv=(3m+M)L.3m-Mv=v、3m+M416由三根长、质
