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1、2.4再探实际问题与一元一次方程名师导航知识梳理 1.列方程解应用题的一般步骤: (1)审清题意;(2)设恰当的_;(3)根据题意_;(4)解_;(5) _;(6)答_. 2.了解利润与利润率: 利润是商品售价与商品成本价(进价)的_,利润率是指商品的_与_的比率,可以用公式表示为_. 通过本节问题的探究,明确数学学习是与日常生活密切相关的.因此要学会在实际生活中应用数学,用数学知识指导生活实际,进一步增加学习数学的趣味性.疑难突破 怎样运用方程,熟练解决实际生活中的问题? 剖析：突破此疑难的关键是认真分析实际问题中的数量相等关系.应重点从以下几个方面寻找等量关系:(1)从问题中的关键语句发现
2、等量关系,如甲比乙的2倍多5,即甲=2倍乙+5;(2)善于抓住问题中的不变量,利用它来列方程,如用长方体橡皮泥捏制成圆柱或球,其体积不变;(3)利用总量等于各分量之和,如工程问题、效率问题及路程问题;(4)利用基本公式中数量关系列方程,如路程=速度时间,工作量=工作效率工作时间,利息=本金利率年数等.当我们找出相等关系时,可以列出方程,解方程.一般在方程的解中,会出现不符合实际情况的解,我们必须会检验,看此解是否符合实际意义,再作答.问题探究 问题：小明为书房买灯,现有两种灯可供选购,其中一种是9W(0.009kW)的节能灯,售价49元/盏;另一种是40W(即0.04kW)的白炽灯,售价18元
3、/盏,假定照明时间3 000小时,使用寿命是2 800h,这时有的学生说使用节能灯省费用,有的学生说白炽灯省费用,这两种灯哪种更省费用呢?(电费每度0.5元) 探究：首先看在多长的使用时间范围内,如果时间越长,节能灯的节能效果越明显,反之白炽灯成本的优势会令费用较低,问题中费用的等量关系为:费用=灯的售价+电费,电费按0.5元/千瓦时,因此电费=0.5灯的功率(千瓦)照明时间(时).如果列等式,选定一种灯之后,设照明时间为t小时,则节能灯的费用(元)是49+0.50.009t,用白炽灯的费用(元)是18+0.50.04t,由关系可知,所谓省钱与选择哪种灯与时间长短有关系. 解方程49+0.50
4、.009t=18+0.50.04t,得t=2 000. 探究结论：当照明时间少于2 000小时,用白炽灯省钱,而且时间越少省钱越多,当照明时间多于2 000小时,用节能灯省钱,而且时间越长省钱越多,因此,用白炽灯200小时,节能灯2 800小时,是最省钱的办法. 通过此题,使我们更明显地认识到如何用一元一次方程解决实际生活中的问题,进一步体现方程与实际的密切联系,帮助学生建构数学,建构思想,培养学生运用方程分析和解决实际问题的能力.典题精讲例1某种风扇因季节原因准备打折出售,如果按定价的7.5折出售,将赔30元,按定价的9折出售,将赚25元,这种电风扇的原定价是多少元? 解析：设该电风扇的原定
5、价为x元, 根据题意,得0.75x+30=0.9x-25, 解这个方程,得x366.7. 答案：这种电风扇的原定价是366.7元. 绿色通道：本题中的等量关系是原进价始终不变. 变式训练：一家商店将某种服装按成本价提高40%后标价,又以8折(即按标价的80%)优惠卖出,结果每件服装仍可获利15元,则这种服装每件的成本价是() A120元 B125元 C135元 D140元 答案：B例2. 商店将进价600元的商品按标价的8折销售,仍可获利120元的利润,问商品的标价是多少元? 解析：设此商品的标价为x元, 根据题意,得0.8x-600=120, 解这个方程,得x=900,经检验,符合题意. 答
6、案：此商品的标价是900元. 绿色通道：商品的利润=商品售价-商品的进价. 变式训练：若商店将商品提价40%,然后再打出“九折酬宾”的广告,结果每个商品的销售仍可获利192元,求商品的进价为多少元? 答案：738元.例3某一家服装厂,接受一批校服订货任务,按计划天数进行生产,如果每天平均生产20套服装,就比订货任务少生产100套;如果每天平均生产23套,就可超过订货任务20套,问这批服装订货任务是多少套?原计划多少天完成? 解析：设这批服装订货任务为x套, 由题意,列方程=,解这个方程,得x=90. =40(天). 答案：这批服装共900套,计划40天完成. 绿色通道：该题含有两个未知数,可设
7、其中任务套数为未知数,从而根据天数不变列出方程,亦可设天数为未知数,根据计划任务总套数不变列出方程. 变式训练：京华服装厂生产某种型号的秋装一批,已知每2m长的布料可做上衣的衣身3个或衣袖5只,现计划用132m这种布料生产这批秋装,应分别用多少布料生产衣身和衣袖才能恰好配套? 答案：用60m布料生产衣身,用72m布料生产衣袖正好配套.自主广场我夯基 我达标1某市百货商场元月一日搞促销活动,规定购物不超过200元不予优惠;超过200元不足500元优惠10%;超过500元,其中500元按9折优惠,超过部分按八折优惠,某人两次购物分别用了134元和466元,问: (1)此人两次购物其物品如果不打折,
8、值多少钱? (2)在此次购物中,他节省了多少钱? (3)若此人将两次购物的钱合起来购相同的商品他是否更省钱?说明你的理由. 解析:(1)因20090%=180134,故购134元的商品未优惠,又5000.9=450466,故购466元的商品有两次优惠,设其售价为x元, 依题意得5000.9+(x-500)0.8=466. x=520(元). 如果商品不打折,分别值134元和520元,共654元. (2)节省654-600=54(元). (3)654元的商品优惠价为5000.9+(654-500)0.8=573.2(元). 若买相同的商品,合起来购买更省钱,节省26.8元. 答案:(1)654元
9、;(2)54元;(3)26.8元.2王老师带领校三好生若干人到赤壁游览,现联系了两辆车的车主,甲车主给出的优惠条件是:学生9折,老师不收费;乙车主给出的优惠条件是:包括老师在内,全部按八折优惠,如果每张车票的价格是40元,请你帮王老师参谋一下,该乘哪个车主的车较合算呢? 解析:设这一行人有x人,付给甲车主的车费为y1,付给乙车主的车费为y2, 所以有y1=(x-1)400.9=36x-36, y2=40x0.8=32x. 当y1=y2,即36x-36=32x,解这个方程,得x=9. 答案:当这一行人少于9人时,应乘甲车主的车合算. 当这一行人刚好等于9人时,乘两家的车付款数都相等. 当这一行人
10、多于9人时,乘乙车主的车较合算.3某商品的进价是1 530元,标价为1 950元,打折以后销售时的利润率为10%,此商品大约是按几折销售的? 解析:设此商品是按x折销售的, 依题意得100%=10%, 解得x=8.6. 答案:此商品大约是按8.6折销售的.4某商店在开业后的前五天,对某种商品按标价8折优惠销售,该商品的利润率是10%,进价是2 400元,它的标价是多少? 分析:此问题是我们常见的利润率问题,可以根据题意画出草图,草图如下图所示. 解:设此商品的标价为x元,则售价为(x80%)元, 根据题意列方程,得 100%=10%, x=3300. 答案:此商品的标价为3300元.5两根同样
11、长的蜡烛,粗蜡烛可燃烧4h,细蜡烛可燃烧3h,一次停电,同时点燃两根蜡烛,来电后同时吹灭,发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍,求停电的时间. 分析:一根粗蜡烛可燃4h,一根细蜡烛可燃3h,如果把燃完一根蜡烛看作工作量1,那么粗蜡烛1h燃掉整根蜡烛的,细蜡烛每小时可燃掉整根蜡烛的,如果设停电的时间为xh,那么两根蜡烛都燃了xh,即xh后,粗蜡烛燃掉了x,细蜡烛燃掉了x,则粗蜡烛还剩(1-x),细蜡烛还剩(1-x). 解:设停电时间为xh,则根据题意列方程,得1-x=2(1-x). 解这个方程,得x=. 答案:停电时间为h.6若方程3x-5=4和方程1-=0的解相同,则a的值为多少? 解析:3x-5=4
12、,x=3. 又两方程的解相同, 把x=3代入1-=0中,得 a=2. 答案:2.7某市为了鼓励节约用水,对自来水的收费标准作了如下规定:每月每户用水不超过10t部分,按0.45元/吨收费,超过10t但不超过20t的部分,按0.80元/吨收费,超过20t的部分,按1.5元/吨收费,现已知李老师家六月份缴水费14元,问李老师家六月份用水多少吨? 分析:设李老师家六月份用水xt, 0.4510+0.80(20-10)=12.514, 李老师家六月份用水超过20t. 解:根据题意,这xt水中,前10t水价为0.45元/吨,其后的10t水价为0.80元/吨,剩下的(x-20)t的水价为1.5元/吨,故列
13、方程0.4510+0.08(20-10)+1.5(x-20)=14. 解这个方程,得x=21. 答案:李老师家六月份用水21t.8某公园的成人票每张6元,儿童票半价,一天共售出门票2 000张,共收入9 600元,问这天售出成人票与儿童票各多少张? 解析:设这天售出成人票x张,则售出的儿童票(2000-x)张. 根据题意,得6x+3(2000-x)=9600, 解得x=1200, 2000-x=2000-1200=800(张). 答案:售出儿童票800张,成人票1200张.9已知某电脑公司有A型、B型、C型三型号的电脑,其价格分别为A型每台6 000元,B型每台4 000元,C型每台2 500
14、元,我市东坡中学计划将100 500元钱全部用于从该电脑公司购买其中两种不同型号的电脑共36台,请你设计出几种不同的购买方案供该校选择,并说明理由. 解析:根据题意,分三种情况考虑: (1)只购买A型和B型两种电脑. 设购进x台A型电脑,则购进(36-x)台B型电脑, 则方程为6000x+4000(36-x)=100500, 解得x=-21.75,36-x=57.75,不合题意,舍去. (2)只购进A型和C型两种电脑. 设购进x台A型电脑,则购进(36-x)台C型电脑, 则方程为6000+2500(36-x)=100500, 解得x=3,36-x=36-3=33(台). (3)只购进B型和C型两种电脑. 设购进B型电脑y台,则购进C型电脑为(36-y)台, 则方程为4000y+2500(36-y)=100500. 解得y=7,36-y=36-7=29(台). 答案:有两种方案供该校选择,第一种方案是购进A型电脑3台和C型电脑33台;第二种方案是购进B型电脑7台和C型电脑2
