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1、2008年全国中考数学压轴题精选(十)91.（08新疆自治区24题）（10分）某工厂要赶制一批抗震救灾用的大型活动板房如图，板房一面的形状是由矩形和抛物线的一部分组成，矩形长为12m，抛物线拱高为5.6m（1）在如图所示的平面直角坐标系中，求抛物线的表达式（2）现需在抛物线AOB的区域内安装几扇窗户，窗户的底边在AB上，每扇窗户宽1.5m，高1.6m，相邻窗户之间的间距均为0.8m，左右两边窗户的窗角所在的点到抛物线的水平距离至少为0.8m请计算最多可安装几扇这样的窗户？（08新疆自治区24题解析）24（10分）解：（1）设抛物线的表达式为1分点在抛物线的图象上3分抛物线的表达式为4分（2）设
2、窗户上边所在直线交抛物线于C、D两点，D点坐标为（k，t）已知窗户高1.6m，5分（舍去）6分（m）7分又设最多可安装n扇窗户9分答：最多可安装4扇窗户10分（本题不要求学生画出4个表示窗户的小矩形）92.（08四川资阳24题）24（本小题满分12分）图10如图10，已知点A的坐标是（1，0），点B的坐标是（9，0），以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，连接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线（1）求抛物线的解析式；（2）点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，连结BD，求直线BD的解析式；（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得PDBCBD?如果存在，请求出点P的
3、坐标；如果不存在，请说明理由（08四川资阳24题解答）(1) 以AB为直径作O，交y轴的负半轴于点C，OCA+OCB=90，又OCB+OBC=90，OCA=OBC，又AOC= COB=90，AOC COB，又A(1，0)，B(9，0)，解得OC=3(负值舍去)C(0，3)，设抛物线解析式为y=a(x+1)(x9)，3=a(0+1)(09)，解得a=，二次函数的解析式为y=(x+1)(x9)，即y=x2x3 (2) AB为O的直径，且A(1，0)，B(9，0)，OO=4，O(4，0)，点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交O于点D，BCD=BCE=90=45，图10答案图1连结OD交BC于
4、点M，则BOD=2BCD=245=90，OO=4，OD=AB=5D(4，5)设直线BD的解析式为y=kx+b（k0） 解得直线BD的解析式为y=x9.(3) 假设在抛物线上存在点P，使得PDB=CBD，解法一：设射线DP交O于点Q，则分两种情况(如答案图1所示)：O(4，0)，D(4，5)，B(9，0)，C(0，3)把点C、D绕点O逆时针旋转90，使点D与点B重合，则点C与点Q1重合，因此，点Q1(7，4)符合，D(4，5)，Q1(7，4)，用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x 解方程组得点P1坐标为(，)，坐标为(，)不符合题意，舍去Q1(7，4)，点Q1关于x轴对称的点的坐标为Q2(
5、7，4)也符合D(4，5)，Q2(7，4)用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x17解方程组得点P2坐标为(14，25)，坐标为(3，8)不符合题意，舍去符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)图10答案图2解法二：分两种情况(如答案图2所示)：当DP1CB时，能使PDB=CBDB(9，0)，C(0，3)用待定系数法可求出直线BC解析式为y=x3又DP1CB，设直线DP1的解析式为y=x+n把D(4，5)代入可求n= ，直线DP1解析式为y=x解方程组得点P1坐标为(，)，坐标为(，)不符合题意，舍去在线段OB上取一点N，使BN=DM时，得NBDMDB(SAS)，NDB=CB
6、D由知，直线BC解析式为y=x3取x=4，得y= ，M(4，)，ON=OM=，N(，0)，又D(4，5)，直线DN解析式为y=3x17图10答案图3解方程组得点P2坐标为(14，25)，坐标为(3，8)不符合题意，舍去符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)解法三：分两种情况(如答案图3所示)：求点P1坐标同解法二过C点作BD的平行线,交圆O于G,此时，GDB=GCB=CBD由(2)题知直线BD的解析式为y=x9,又 C（0，3）可求得CG的解析式为y=x3,设G（m,m3），作GHx轴交与x轴与H，连结OG,在RtOGH中，利用勾股定理可得，m=，由D（4，5）与G(7，4)可得
7、，DG的解析式为，解方程组得点P2坐标为(14，25)，坐标为(3，8)不符合题意，舍去12分符合条件的点P有两个：P1(，)，P2(14，25)94.（08广东梅州23题）23本题满分11分如图11所示，在梯形ABCD中，已知ABCD， ADDB，AD=DC=CB，AB=4以AB所在直线为轴，过D且垂直于AB的直线为轴建立平面直角坐标系（1）求DAB的度数及A、D、C三点的坐标；（2）求过A、D、C三点的抛物线的解析式及其对称轴L（3）若P是抛物线的对称轴L上的点，那么使PDB为等腰三角形的点P有几个?（不必求点P的坐标，只需说明理由） （08广东梅州23题解答）解： （1） DCAB，AD
8、=DC=CB， CDB=CBD=DBA，0.5分 DAB=CBA， DAB=2DBA， 1分DAB+DBA=90， DAB=60， 1.5分 DBA=30，AB=4， DC=AD=2， 2分RtAOD，OA=1，OD=，2.5分A（-1，0），D（0， ），C（2， ） 4分（2）根据抛物线和等腰梯形的对称性知，满足条件的抛物线必过点A（1，0），B（3，0），故可设所求为 = （+1）（ -3） 6分将点D（0， ）的坐标代入上式得， =所求抛物线的解析式为 = 7分其对称轴L为直线=18分（3） PDB为等腰三角形，有以下三种情况：因直线L与DB不平行，DB的垂直平分线与L仅有一个交点P1
9、，P1D=P1B， P1DB为等腰三角形； 9分因为以D为圆心，DB为半径的圆与直线L有两个交点P2、P3，DB=DP2，DB=DP3， P2DB， P3DB为等腰三角形；与同理，L上也有两个点P4、P5，使得 BD=BP4，BD=BP5 10分由于以上各点互不重合，所以在直线L上，使PDB为等腰三角形的点P有5个95.（08山东聊城25题）25（本题满分12分）如图，把一张长10cm，宽8cm的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）第25题图（1）要使长方体盒子的底面积为48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长
10、方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由解：（1）设正方形的边长为cm，则即解得（不合题意，舍去），剪去的正方形的边长为1cm（2）有侧面积最大的情况设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2，则与的函数关系式为：即改写为当时，即当剪去的正方形的边长为2.25cm时，长方体盒子的侧面积最大为40.5cm2 图1第25
11、题图图2（3）有侧面积最大的情况设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2若按图1所示的方法剪折，则与的函数关系式为：即当时，若按图2所示的方法剪折，则与的函数关系式为：即当时，比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm296.（08广东佛山25题）25我们所学的几何知识可以理解为对“构图”的研究：根据给定的（或构造的）几何图形提出相关的概念和问题（或者根据问题构造图形），并加以研究.例如：在平面上根据两条直线的各种构图，可以提出“两条直线平行”、“两条直线相交”的概念；若增加第三条直
12、线，则可以提出并研究“两条直线平行的判定和性质”等问题（包括研究的思想和方法）. (1) 如图1，在圆O所在平面上，放置一条直线（和圆O分别交于点A、B），根据这个图形可以提出的概念或问题有哪些（直接写出两个即可）？(2) 如图2，在圆O所在平面上，请你放置与圆O都相交且不同时经过圆心的两条直线和（与圆O分别交于点A、B，与圆O分别交于点C、D）.请你根据所构造的图形提出一个结论，并证明之.(3) 如图3，其中AB是圆O的直径，AC是弦，D是ABC的中点，弦DEAB于点F. 请找出点C和点E重合的条件，并说明理由.ABOm第25题图1O第25题图2ABOE第25题图3DCFGDC解：(1) 弦
13、（图中线段AB）、弧（图中的ACB弧）、弓形、求弓形的面积（因为是封闭图形）等. (2) 情形1 如图21，AB为弦，CD为垂直于弦AB的直径. 3分结论：（垂径定理的结论之一）. 4分OnDACBm第25题图21P情形2 如图22，AB为弦，CD为弦，且AB与CD在圆内相交于点P.结论：.情形3 （图略）AB为弦，CD为弦，且与在圆外相交于点P.结论：.ADBC情形4 如图23，AB为弦，CD为弦，且ABCD.结论： = .(3) 若点C和点E重合，则由圆的对称性，知点C和点D关于直径AB对称. 8分ABC设，则，.9分又D是 的中点，所以，即.10分解得.11分ABOE第25题图3DCFGO第25题图22nDACBmPO第25题图23nDACBm6
