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1、高三数学1两条异面直线所成的角试题1. 两条异面直线所成的角【例1】利用“平移法”求两条异面直线所成的角（2020新课标）直三棱柱ABCA1B1C1中，BAC90o，M、N分别是A1B1、A1C1的中点，且BC=CACC1，则异面直线BM与AN所成的角的余弦值为A1B2105C30D2102【分析1】（几何法）取BC中点D，连结MN、ND，因为MNBCB1C1,且2MN=BC=B1C1，有MBND，则AND即为异面直线BM与AN所成的角，设BC2，且MB=ND，则BMND6,AN5,AD5，因cosANDND2NA2AD230.2NDNA10【分析2】（几何法）延伸MA1至D，使得MA1AD1
2、，连结AD,ND，易证DAN即为异面直线BM与AN所成的角，设BC2，则BMAD6，AN5，DN2(2)21222cos1355，易求cosDAN(6)2(5)2530.26510【评注】传统的几何法求异面直线所成角一般采纳“平移法”，马上一条线段平移后使两条线段的一个端点重合，这样便可化空间角为平面角，这个平面角就是两条异面直线所成的角或其补角，再将这个角置于三角形之中，经过解三角形，求出该角.注意异面直线所成的角的范围是(0o,90o.【分析3】（向量法）依题意可成立图示坐标系Cxyz，设BC2，则A(0,2,0)，B(2,0,0)，N(0,1,2)，M(1,1,2)，uuuruuuur(
3、1,1,2)，AN(0,1,2)，BMcosuuuruuuur0(1)(1)12230.AN,BM2202(1)222(1)21210【评注】该题条件便于成立适合直角坐标系的条件，使向量坐标化，利用空间向量夹角公式uuuruuuurAN、BM所成的角的余弦值.即可求出向量AN、BM的夹角的余弦值，从而得出异面直线【变式1】（2020浙江理）如图，三棱锥ABCD中，ABACBDCD3,ADBC2，点M,N分别是AD,BC的中点，则异面直线AN和CM所成的角的余弦值是【分析1】（几何法）如图，连结DN，取DN中点P，连结PM、PC，则PMC即为AN和CM所成角（或其补角），易得ANCMDN22，P
4、MPN2，PC3，cosPCM(22)2(2)2(3)27.22228异面直线AN和CM所成的角的余弦值是7.8【评注】此法相当于平移AN，使A、M重合，利用三角形的中位线性质将异面直线所成的角转变为平面角，再利用余弦定理求解.【分析2】（向量法）uuuruuuuruuuruuuur|uuuruuuuruuuruuuruuuuruuuur易知|AN|CM|22，|NC|AM1，NCAM，由ANNCCMAM，uuuruuuuruuuuruuuruuuruuuuruuuuruuur可得ANCMAMNC，(ANCM)2(AMNC)2uuur2uuuur2uuuruuuuruuuruuuuruuuur
5、2uuur2即|AN|CM|2|AN|CM|cosAN,CM|AM|NC|，uuuruuuuruuuuruuuruuuruuuur7cos|AM|2|NC|2|AN|2|CM|2，AN,CMuuuruuuur82|AN|CM|异面直线AN和CM所成的角的余弦值是7.8【评注】因为题干中没有显然成立适合直角坐标系的条件，向量坐标化很难，只能基底化了.uuuruuuuruuuuruuuruuuruuuur因为，AN、CM、AM、NC四个向量的模均可求得，且二向量NC、AM夹角为90o，所以，uuuruuuuruuuruuuuruuuruuuur以向量NC、AM为基底来表示向量AN、CM，即可求出向
6、量AN、CM的夹角的余弦值，进而得出异面直线AN,CM所成的角的余弦值.【变式2】（沈阳市2020高三上学期期末）在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BCAC，A，3AC4，M为AA1中点，点P为BM中点，Q在线段CA1上，且A1Q3QC，则异面直线PQ与AC所成角的正弦值【分析1】（几何法）如图，过P作PDAB交AA1于D，连DQ，D为AM中点，PD1AB4，又AQA1D3，2QCAD4DQAC，PDQ，DQ3AC3，34在PDQ中，PQ4232243cos13，3cosPQ2QD2PD1PQD1cos2PQD2PQDQD，sin392PQ1313【评注】此法相当于平移AC，使C、Q重合，利用
7、三角形的中位线、三角形相像等性质，化异面直线所成的角为平面角，再利用余弦定理求解.【分析2】（几何法）如图，连结MQ并延伸交AC的延伸线于D，连结BD，易证PQBD，在RtBDC中，BDC就是异面直线PQ与AC所成角，易求BC43,DC2,则BD213,432sinBDC1339213【评注】此法相当于平移PQ与AC订交，利用三角形的中位线、三角形相像等性质，化异面直线所成的角为平面角，再解直角三角形求解.【分析3】（向量法）依题意可成立图示坐标系Cxyz，设CC14m，依据uuur(4,0,0)，B(0,43,0)，已知条件可求得，CAM(4,0,2m)，从而求得P(2,23,m)，Q(1,
8、0,m)，uuuruuuruuur41,QP(1,23,0)，cosQP,CA4202023)20212(213239.异面直线PQ与AC所成角的正弦值13【评注】该题具备成立适合直角坐标系的条件，便于求出向量坐标，利用空间向量夹角公式uuuruuurPQ与AC所成的角的正弦值.即可求出向量QO、CA的夹角的余弦值，从而得出异面直线【变式3】在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱与底面垂直，且ABACAA1,BAC90o，则异面直线A1B与C1A所成的角.【分析1】（几何法）如图，延伸CA至D使ADCA，连结DA1，则DA1AC1，BA1D就是异面直线A1B与C1A所成的角（或其补角）.设正方体的
9、棱长为1，则BDA1的三边长均为2，从而异面直线A1B与C1A所成的角为60o.【分析2】（几何法）如图，先将三棱柱ABCA1B1C1补成一个正方体，再将AC1平移到对面正方形，再连结底面正方形的对角线，于是它们都是面对角线，组成正三角形，从而异面直线A1B与C1A所成的角为60o.【评注】平移法求异面直线所成的角，一般就是作4次试试：将一条线段平移后使两条线段的一个端点重合，连结另两个端点，假如能获取可解的三角形，就能求出异面直线所成的角.我们经常经过取中点、取线段的平分点、倍长线段、甚至做平行且相等线段等方式实现平移，从而找到平面角，求出异面直线所成的角.当把一条直线平移到几何体的外面时，我们能够采纳补形的思想，经过连线获取某条异面直线的平行线，从而找到平面角，求出异面直线所成的角.【分析3】（向量法）依题意，可成立图示坐标系A1xyz，设ABACAA11，uuuruuur则A1B(1,0,1)，C1A(0,1,1)，uuuruuur100(1)111,cosA1B,C1A12021202(1)2122异面直线A1B与C1A所成角为60o.【评注】只需存在三条两两相互垂直的直线，就能够成立适合直角坐标系，并且把两条异面直线的方向向量的坐
