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1、第十四章 影响线 14-1影响线的概念前面几章讨论的是固定荷载作用下结构的内力和位移计算。通常我们把作用在结构上位置固定不变的荷载称为固定荷载或恒载，如结构的自重荷载。但工程中有些结构除了承受恒载外还承受另一类荷载（包括设备、风、雪等暂时荷载），称为活荷载。活荷载分两类：一类是移动荷载，其特点是大小、方向不变，但作用的位置可以移动，常见的有在桥梁上行驶的汽车荷载，工业厂房中吊车梁上的吊车荷载；另一类是时有时无，可任意断续布置的可动均布荷载，如楼面上的人群荷载等。本章重点讨论活荷载作用下，静定梁的反力和内力的计算问题。为叙述方便，在本章把反力、内力、位移等量称为量值，用表示。在移动荷载作用下，梁
2、中各量值都随荷载位置移动而变化，而且每个量值都存在一个最大（最小）值，此时产生相应最大（最小）值的荷载作用位置，称为该量值的最不利荷载位置。如图14-1所示的简支梁，当汽车由左向右行驶时，反力将逐步减小，反力则逐步增大。显然，梁内各截面的弯矩和剪力也将随汽车的行驶而发生变化。工程实际中，移动荷载通常是由多个间距保持不变的竖向荷载组成，其具体的组合多种多样，不可能逐一加以研究。为此，计算时取最具代表性的竖向单位移动荷载来研究，当沿结构移动时，某一量值的变化规律就能找出，根据迭加原理，就可以求其各种移动荷载作用下的变化规律。当量纲为一的竖向单位集中荷载沿结构移动时，表示某一量值随荷载位置而变化的规
3、律的函数图形，称为该量值的影响线。以横坐标表示单位移动荷载的位置，纵标表示该量值的影响线数值，正上负下，并要标明控制值以及正负号。该量值影响数值的量纲为该量值的量纲与移动荷载量纲之比。影响线是研究移动荷载作用下结构计算的基本工具，利用影响线可确定实际移动荷载作用下某量值的最不利荷载位置，进而求出该量值的最大值。本章介绍绘制静定梁影响线的基本方法（静力法和机动法）、量值最不利荷载位置的确定及影响线的应用和简支梁的内力包络图。14-2 静定梁的影响线一、静力法作单跨静定梁的影响线静力法就是以单位移动荷载的作用位置为自变量，利用静力平衡条件求出某量值与的函数关系式（影响线方程），再以此作出影响线的方
4、法。（一）简支梁的影响线1.反力影响线图14-2（a）所示简支梁，作支座反力、的影响线。 2.弯矩影响线 作简支梁截面弯矩影响线，弯矩规定以梁下侧受拉为正。由于单位移动荷载在截面的左边和右边时，的表达式不同，故应分别考虑，分段列出影响线方程。 当在段移动时，取 截面右边为隔离体，如图14-2（b）所示。由得 （c）当在段移动时，取截面左边即段为隔离体，如图14-2（c）所示,可得 （d）（c）、（d）两式是的影响线，作影响线如图14-2（f）所示。由图可见，影响线由左右两段直线组成，并形成一个三角形。当移动到截面时，弯矩为极大值。3. 剪力影响线作简支梁截面的剪力影响线，剪力正负号规定同前面。
5、和弯矩影响线一样，需分段列出剪力影响线方程。由影响线方程（e）和（f）可知影响线由左右两段互相平行的直线段组成，如图14-2（g）所示。影响线在点处有突变，表明由截面的左侧移动到右侧时，发生了突变，突变值等于1。而当正好作用于点时，的值是不确定的。（二）外伸梁影响线1. 反力影响线要作图14-3所示外伸梁支座反力的影响线，仍选取为坐标原点，由平衡条件和得支座反力、的影响线方程为 可见方程与相应简支梁的反力影响线方程完全相同，反力影响线如图14-3（a）、（b）所示。很明显，简支梁的反力影响线向外部分延伸，即得到外伸梁的反力影响线。2. 跨间各截面内力影响线如图14-3所示，截面在段内，现讨论、
6、的影响线。按简支梁求弯矩和剪力影响线同样的方法可求出： 外伸梁影响线方程与简支梁的方程形式完全相同，影响线如图14-3（c）、（d）所示。与图14-2比较发现，简支梁的弯矩和剪力影响线向外伸部分延长即得外伸梁的影响线。3. 外伸部分内力影响线现作外伸部分段上截面的、影响线。以截面为坐标原点，作用点到的距离为，如图14-4（a）所示。当在段上时，有 当在段上时，有 由此可作出、影响线如图14-4（b）、（c）所示。综合以上的分析，静力法作影响线的步骤可归纳如下：（1）选取坐标系，以坐标表示单位移动荷载的作用位置；（2）由平衡条件求出反力或内力的表达式，即为影响线方程；（3）根据影响线方程画出影响
7、线，正上负下，并标明正负号。对于静定结构，其反力、内力影响系数方程都是荷载位置的一次函数，所以静定结构的反力、内力影响线都是由直线段组成。为了更好地掌握影响线的概念，现把简支梁的弯矩影响线与恒载作用下弯矩图的区别对比如下：简支梁的弯矩影响线承受的荷载为单位移动荷载，横坐标表示单位移动荷载的作用位置，纵坐标表示单位移动荷载作用在该点时指定截面弯矩的大小，弯矩影响线的量纲为弯矩量纲与移动荷载量纲之比。弯矩图承受的荷载为作用位置固定不变的实际荷载，横坐标表示表示梁各截面的位置，纵坐标表示对应截面弯矩的大小，弯矩量纲为实际量纲。二、机动法作静定梁的影响线用静力法作影响线，需要先求影响线方程，而后才能作
8、出相应的图形。特别是当结构比较复杂时，静力法就更烦琐，而且工程上有时只需要画出影响线的轮廓即可，此时常用机动法作影响线。机动法就是依据虚功原理，把作影响线的静力问题转化为作位移图的几何问题。用机动法作影响线的步骤如下：（1）解除与所求量值相对应的约束，代之以约束反力；（2）使体系沿所求量值的正方向发生单位虚位移，作出体系的虚位移图；（3）位移图上标上纵标控制值和正负号，虚位移图就是该量值的影响线。（一）简支梁1、反力影响线简支梁如图14-5（a）所示，绘制的影响线。首先解除B点的约束，代以约束反力，如图14-5（b）所示。再令梁B端沿反力正方向产生一单位虚位移，作用点相应的虚位移为，如图14-
9、5（c）所示。根据刚体虚功原理，得 则有 可见，令B点的虚位移等于1时的位移图就是的影响线。2、弯矩影响线简支梁如图14-6（a）所示，要作影响线，首先解除C截面处与弯矩相应的约束，即在C截面处视为铰接，并在铰两边加上正弯矩，如图14-6（b）所示。让铰两侧截面沿正向作相对微小转动，相对转角时，由虚功原理得：所以，由此得到位移图并标上纵标和正负号，即为影响线，如图14-6（c）所示。3、剪力影响线 如图14-6（a）所示，要作影响线，首先解除C截面处与剪力相应的约束，将C截面切开，用与梁轴平行的双链杆相连，再加上一对正剪力，如图14-6（d）所示。当C截面两侧的相对位移时，该梁的位移图就是的影
10、响线，如图14-6（e）。（二）多跨静定梁影响线作如图14-7（a）所示多跨静定梁的影响线，先解除B支座约束并代以反力，令B点沿正向产生单位位移，解除一个约束使多跨静定梁变成具有一个自由度的几何体系，即可得到如图14-7（b）所示的位移图，标上纵标和正负号，的影响线和影响线的作法与简支梁的基本相同，如图14-7（c）、（d）。14-3 影响线的应用一、利用影响线求量值利用影响线可以进行固定荷载作用时的量值计算。（一）集中荷载影响线上的竖标表示单位移动荷载作用于该截面时量值的大小。由此，荷载作用于该截面时量值应为。如图14-8（a）所示，有一组集中力、作用于简支梁上。的影响线如图14-8（b）所
11、示。和作用点对应的影响线纵标为和。根据迭加原理，的值为若作用位置已知的集中力为、，其影响线纵标分别为、，则量值为 （14-1）注意：在影响线的基线上方为正，反之为负。（二）均布荷载图14-9如图14-9（a）所示外伸梁的段上作用有均布荷载，某量值影响线如图14-9（b）所示。计算均布荷载对量值的影响时，可将段分成无数多个微段，每个微段上的荷载可视为一集中荷载，它所引起的量值为。故段均布荷载产生的某量值为 （14-2）式中，为影响线在均布荷载范围内的面积，其值要注意正负号。【例14-1】试利用影响线求图14-10（a）所示简支梁在图示荷载作用下，截面的剪力值。解：（1）作影响线如图14-10（b
12、）所示。（2）求出的作用点及、两点所对应的影响线上的纵标数值。 （3）求值 二、利用影响线确定最不利荷载位置在移动荷载作用下，结构上各量值一般都随荷载的移动而变化。使某量值产生最大或者最小值时的移动荷载作用位置，称为该量值的最不利荷载位置。结构设计时，往往要知道某量值的的最大（小）值及其最不利荷载位置。利用影响线可以计算移动荷载对量值的影响，并确定最不利荷载位置。（一）移动均布荷载1. 可任意布置的均布荷载如图14-11（a）所示简支梁承受可任意布置的均布荷载作用，如人群、货物等。当影响线正号面积布满荷载时，可求得最大正值；当影响线负号面积布满荷载时，可求得最大负值，如图14-11（c）、（d
13、）所示。2. 固定长度的均布荷载图14-12如图14-12所示为某履带式机车对桥梁的作用以及某截面的弯矩影响线。当时，阴影面积最大，这样，也取得最大值。此时的荷载位置为最不利位置。（二）移动集中荷载1. 单个移动荷载由式14-1，量值，当时，故只要把置于影响线的竖标处即为最不利荷载位置。2. 一组移动荷载汽车、吊车等轮压荷载是一组间距不变的竖向移动集中荷载，称为行列荷载。在荷载不太复杂时最不利荷载位置可以用试算法来确定，即将各个集中力依次移到影响线的顶点位置上，分别求出量值的大小，其中产生最大量值的荷载位置就是最不利荷载位置。最大量值也是极值，此时必有一集中荷载位于影响线的顶点，通常将这一荷载
14、称为临界荷载，用表示。当移动荷载个数较多时，确定最不利荷载位置用试算法较麻烦，对于三角形影响线来说，则可先利用公式（14-3）判别出每个临界荷载的位置，并计算出相应荷载状态下的量值，比较，从而确定最大量值。与最大量值对应的临界荷载一般为靠近移动荷载合力处数值最大的集中荷载。 (14-3a) (14-3b)【例14-2】 图14-13（a）所示简支梁承受汽车荷载，已知各荷载为汽车轮压, 求简支梁截面的最大弯矩。解：作出的影响线如图14-13（b）所示。车队荷载中数值最大且靠近移动荷载的合力，故可取其为临界荷载。因车队左行、右行时荷载的序列不同，故荷载的布置有两种情况。（1）当汽车车队由右向左开行，使100位于截面时：（2）若考虑车队由左向右开行，使100位于截面时：（若车队继续向右开行，使30位于影响线顶点如图14-13（d），则再向右开行部分荷载不在梁上，荷载较少，值必小于上述数值，故无须考虑综合上述分析，截面的最大弯矩为520。图14-14【例14-3】 如图14-14（a）所示吊车梁，两台吊车的轮压： 试求吊车梁跨中截面上的最大弯矩。解：作出的影响线如图14-14（b）所示。因该组荷载数目不多，数值相等，与排列靠近，可以直接断定与为临界荷载，利用1
