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1、第六章 定积分的应用本章将应用第五章学过的定积分理论来分析和解决一些几何、物理中的问题，其目的不仅在于建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于介绍运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法。一、教学目标与基本要求：使学生掌握定积分计算基本技巧；使学生用所学的定积分的微元法（元素法）去解决各种领域中的一些实际问题；掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积、变力作功、引力、压力及函数的平均值等）二、本章各节教学内容及学时分配：第一节 定积分的元素法 1课时第二节 定积分在几何学上的应用 3课时第三节 定积分在物理
2、学上的应用 2课时三、本章教学内容的重点难点：找出未知量的元素（微元）的方法。用元素法建立这些几何、物理的公式解决实际问题。运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法6.1定积分的微小元素法一、内容要点1、复习曲边梯形的面积计算方法，定积分的定义面积面积元素=2、计算面积的元素法步骤：（1）画出图形； （2）将这个图形分割成个部分，这个部分的近似于矩形或者扇形；（3）计算出面积元素；（4）在面积元素前面添加积分号，确定上、下限。二、教学要求与注意点掌握用元素法解决一个实际问题所需要的条件。用元素法解决一个实际问题的步骤。三、作业3562定积分在几何中的应用一、内容要点1、在直角坐标系下计算平面图
3、形的面积方法一面积元素=，面积=第一步：在边界方程中解出的两个表达式，.第二步：在剩下的边界方程中找出的两个常数值，；不够时由解出， ，面积=方法二 面积元素=，面积=第一步：在边界方程中解出的两个表达式，.第二步：在剩下的边界方程中找出的两个常数值，；不够时由解出， ，面积=例1 求，围成的面积解，。当时，于是面积例2 计算围成的面积解 由，得，当时 面积=18。2、在曲边梯形、（）中，如果曲边的方程为参数方程为，则其面积 =，其中例3 求轴与摆线,围成的面积解 面积 例4 星形线()围成的面积. 解 面积=3、极坐标系下计算平面图形的面积。极坐标曲线围成的面积的计算方法：解不等式，得到。面
4、积=4、平行截面面积为已知的空间物体的体积过轴一点作垂直于轴的平面，该平面截空间物体的截面面积为，,则该物体的体积 例1 一空间物体的底面是长半轴，短半轴的椭圆，垂直于长半轴的截面都是等边三角形，求此空间体的体积。解 截面面积5、旋转体体积在上 ，曲线、直线围成的曲边梯形1）绕轴旋转一周形成旋转体，其截面面积，旋转体体积。2）绕轴旋转一周形成旋转体：位于区间x,x+dx上的部分绕轴旋转一周而形成的旋转体体积，原曲边梯形绕轴旋转一周形成的旋转体体积。 例2摆线与x轴围成的图形1）绕轴旋转形成的旋转体体积 =2）绕轴旋转形成的旋转体体积 = 3）绕旋转形成的旋转体的截面面积。绕旋转形成的旋转体体积
5、 例3 求心形线与射线、围成的绕极轴旋转形成的旋转体体积解 心形线的参数方程为，旋转体体积=6、平面曲线的弧长 曲线方程自变量的范围弧微分弧长显函数参数方程极坐标表中当时，弧微分。例1求摆线的长解，。弧长例2摆线上求分摆线第一拱成1：3的点的坐标解设A点满足要求，此时。根据例2摆线第一拱成弧长，。由条件弧OA的长为，即,点A的坐标为例3 求星形线的全长解星形线的参数方程为, , ,，.弧长。例4 求对数螺线上到的一段弧长解 ，弧长=二、教学要求与注意点掌握用定积分表达和计算一些几何量与物理量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积三、作业 同步训练
6、35、36、37一直角坐标的情形定理1：由两条连续曲线, 以及直线x=a,x=b所围平面图形的面积为：证明：有微小元素法：,则注意：1 从几何意义容易看出2 若无这一条件，则面积3 同理，曲线与y=c,y=d所围区域的面积为，其中例1：求抛物线及其点和处的切线所围成图形的面积解：在点处，切线方程 在点处，切线方程 得交点 定理2：若平面曲线由参数方程给出，且在连续，则曲线与x=a,x=b 以及x轴所围的曲边梯形的面积为：例1 求摆线x=a(t-sint),y=a(1-cost) (a0)的一拱与x轴所为的面积解：二极坐标的情形定理3：设曲线且 在上连续，非负则有曲线与射线所围区域（称为曲边扇形
7、）的面积为：证明：又微小元素法上的面积微元是：，所以 例1、 求双纽线所围的平面图形的面积。解：又由图形的对称性以及公式有：例2、求由曲线所围图形公共部分的面积解：两曲线的交点+ 体积一 平行截面面积为已知的立体体积定理一：设V是位于a,b间的一空间立体，A(x)（）是截面积的函数，且在a,b上连续，则立体V的体积为证明：在x,x+dx上的体积微元是dV=A(x)dx,则体积为：例1：求由圆柱面所围立体的体积解：由于对称性，我们只要求第一卦限立体体积，过x点（）且垂直于x轴的平面与该立体的截面为边长为的正方形，则二 旋转体的体积旋转体是一种特殊的空间立体，它是一条平面图形饶平面一直线l旋转一周
8、所得，特别地，直线为x轴，一般地，设旋转体由曲线y=f(x),x=a,x=b,以及x轴所围的曲边梯形饶x轴旋转一周所得的一个立体，用垂直于x轴的平面去截立体得到截面面积为A(x)=,则旋转体的体积为：例1例3、过点作抛物线的切线，求该切线与抛物线及轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积解：设切点为切线方程Q 切点在切线上，（3,1）0 1 2 3 ， 切线方程：平面曲线的弧长一直角坐标系定理1：设y=f(x)在a,b上连续，且有一阶连续导数，则 y=f(x) 在a,b上的弧长为这由弧微分很容易推导出来。例1曲线相应于的一段解：1. 二参数方程的情形 当曲线以参数方程 给出时要求t由时的曲线弧长
9、。由弧微分容易知道：例1摆线 的一拱 3. 三极坐标的情形定理3：若曲线的极坐标方程为,那么相应于的一段弧长为：例1：心形线的全长 ，=8a=8a(3) 6.3定积分在物理中的应用一、内容要点1、变力沿直线运动所做的功如左图，设dx很小，物体在变力 的作用下从点x移动到点x+dx所做的功元素为，从点a移动到点b, 在变力所做的功 例1一物体按规律直线运动，所受的阻力与速度的平方成正比，计算物体从 运动到时，克服力所做的功。 解 位于处时物体运动的速度，所受的阻力。如图从点x运动到点x+dx所做的功元素。物体从运动到时，克服力所做的功。 例2一个圆拄形水池，底面半径5米，水深10米，要把池中的水
10、全部抽出来，所做的功等于多少？（水的密度=1）解如图，将位于处、厚度为的薄层水抽出来，其质量密度体积，当薄层水的厚度很小时，所做的功元素。要把池中的水全部抽出来，所做的功例3一条均匀的链条长，质量，悬挂于某建筑物顶部，需做多少功才能把它全部拉上建筑物顶部解如图，将位于处、长度为的一小段拉到顶部，其质量为，所做的功元素。全部拉上建筑物顶部所做的功2、液体的压力例4 一块矩形木板长10米，宽5米。木板垂直于水平面，沉没于水中，其一宽与水面一样高，求木板一侧受到的压力。（水的密度=1）解如图，木板在处所受的压强为。位于处、长为5米、宽为米的小矩形受到的压力元素（吨）。整块木板一侧受到的压力（吨）。3、引力例5 如图一质量为的质点位于原点，一根密度为、长为的均匀细棒区间上，求细棒对质点的引力解位于处、长为的小段，其质量为，对质点的引力元素。细棒对质点的引力 例6 设星形线，上每一点处的线密度的大小等于该点到原点的距离的立方，求星形线在第一象限的弧段对位于原点处的单位质点的引力。 解 如图，位于处、长为的小段，到原点的距离，线密度为，其质量为，其中。该小段对质点的引力元素，其水平分量，铅直分量。因此,二、教学要求与注意点不仅会建立这些几何、物理的公式，而且更重要的还在于会运用元素法将一个量表达为定积分的分析方法三、作业 同步训练38
