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1、第五章 随机振动在工程中特别是在车辆工程中广泛存在着随机振动，例如：车辆行驶时由于路面不平引起的振动。本章讨论线性振动系统受外界的随机激励而引起的随机振动。按响应情况分类，振动：确定性振动；随机振动。确定性振动：系统的振动，如果对任意时刻，都可以预测描述它的物理量的确定的值，即振动是确定的或可以预测的。随机振动：造成振动的原因复杂多样，不能逐一分析清楚。当以相同的条件重现振动时，会发现振动的物理量没有重复性，即无法预测其在将来某一时刻究竟取什么值。随机振动服从概率统计规律，其振动规律可以而且只能用概率统计方法描述（统计值）。与确定性振动不同的是，只能知道振动系统激励和响应的统计值。本章主要内容
2、：介绍描述随机振动中的物理量的描述方法，也就是随机振动的数学理论，重点是随机振动中极为重要的相关函数和功率谱密度函数。讨论受随机激励的振动系统的激励、系统特性、响应三者之间的关系。5.1 随机过程过程：是指物理量随时间变化的情况。在随机过程中随时间改变的物理量是无法准确预知其变化的，但其变化规律服从统计规律。汽车平顺性试验的一个随机过程。汽车在相同的条件下(同样的道路，同一辆汽车，乘员及载重量不变，驾驶员操作条件完全相同，等等)重复行驶，在司机座椅上面放一个加速度传感器以测量该处的垂直加速度a(t)。汽车每行驶一次测量得到一个随时间变化的加速度ar(t)（随机过程a(t)的一个样本函数、“实现
3、”），每个样本函数是互不相同但没有“实现”的样本函数与已“实现”的样本函数之间有必然的联系，这种联系只能用概率统计的方法揭示。问题归结于从已知的的样本函数ar(t)找出随机过程a(t)的变化规律，这种规律不是确定性的，只是统计意义上的。图 51 理论上讲，样本函数ar(t)的定义域为。但在实际中只能得到ar(t)在一段时间限有限区间上的值，如在区间0tT内样本函数的情况：ar(t)，这称为随机过程a(t)的一个记录。任何一个随机过程X(t)是一系列(一般是无穷多个)样本函数的集合，记为：在本章内，用大写字母表示随机过程和随机变量，小写字母表示样本函数。比如，X(t)表示随机过程，而X(t1)和
4、X均指随机变量。x(t)和xr(t)是随机过程X(t)的样本函数。x(t)是指X(t)的任一个样本函数，xr(t)是特指X(t)的第r个样本函数。5.2 随机过程的数字特征描述一个随机过程可从两个不同的角度入手：时域描述：对样本函数进行统计平均（样本平均）。随机变量描述：涉及整个样本函数集合（集合平均）。实际中常用于描述随机过程的统计量的方法有两种：可用n维概率分布函数或n维概率密度函数在时域或由集合描述随机过程，即根据随机过程的样本函数和随机变量系的概率分布函数或概率密度函数描述随机过程。实际确定随机过程的概率分布函数或概率密度函数很困难，甚至不可能。因此，多用随机过程的数字特征也就是概率论
5、中的矩来描述随机过程。工程上常用的最基本的数字特征有：1均值均值也就是数学期望。设X(t)是一个随机过程，在给定的时刻t1，X(t1)是随机变量，它的均值一般与给定的时刻t1有关，即这里，mx(t1)中的下标x表示随机过程X(t)，p(x，t1)是随机变量X(t1)的一维概率密度函数。X(t1)的均值也就是X(t1)的数学期望。因此有(5.1)被积函数是x的一次方与概率密度函数的乘积，它是随机变量的一阶矩。对于在相同条件下得到的一系列样本函数xr(t)，它们是等概率的。此时，均值可以写成(5.2)对随机过程X(t)的任一个样本函数xr(t)，可以由下式在时域求它的平均值(5.3)mxr是随机过
6、程X(t)在时域的平均值，通常它随所选取的样本函数不同而变。也就是说，mxr是下标r的函数。2方差 方差的集合定义为(5.4)式中，sx(t1)称为随机过程X(t)的标准差，它表示X(t)在t1时刻对均值mx(t1)的偏离程度。被积函数是x减去均值后的二次方与概率密度函数的乘积，方差是随机变量的二阶中心矩。对等概率的样本函数，方差可以写成(5.5)另一个与方差有关的量是均方值，定义为(5.6)式中，被积函数是x的二次方与概率密度函数的乘积，所以，均方值是随机变量的二阶原点矩。均方值、方差和均值之间满足下面关系(5.7)对随机过程X(t)的任一个样本函数xr(t)，可以定义时域方差(5.8)同样
7、可以定义时域均方值(5.9)、和也有关系式 (5.10)3自相关函数、互相关函数 均值和方差只是描述随机过程单一时刻的数字特征，要描述两个不同时刻之间的联系则要引入相关函数。设随机过程X(t)在两个任意时刻t1，t2的随机向量为X(t1)和X(t2)，p(x1，x2；t1，t2)是这两个随机向量之间的二维概率密度函数，定义 (5.11)为X(t)的自相关函数。它描述的是随机过程X(t)两个不同时刻之间的线性依赖关系。对于具有相同二维概率密度函数的样本函数，自相关函数可以写成(5.12)同样也可在时域内定义相关函数，即(5.13)它表示样本函数xr(t)与其延时t时刻得到的xr(t+t)之间波形
8、的相似程度。对两个随机过程X(t)、Y(t)，设X(t1)是X(t)在tl时刻的随机向量，Y(t2)是Y(t)在t2时刻的随机向量，定义(5.14)为X(t)、Y(t)的互相关函数。这里p(x，y；t1，t2)是X(t1)、Y(t2)的二维概率密度函数。同样可以定义互相关函数Rxy(tl，t2)(5.15)这里p(y，x；t1，t2)是Y(t1)、X(t2)的二维概率密度函数。一般来说，由于p(x，y；t1，t2)p(y，x；t1，t2)，因此Rxy(tl，t2)Ryx(tl，t2)。互相关函数Rxy(tl，t2)和Ryx(t1，t2)描述了两个随机过程之间的线性依赖关系。两个随机过程X(t)
9、、Y(t)在时域内的互相关函数定义为它表示xr(t)与ys(t+t)之间波形的相似程度。5.3 平稳过程和各态历经过程5.3.1 平稳随机过程非平稳过程：一个随机过程的统计性质、趋势与时间有关，随着时间的改变而改变，例如，火箭的发射过程，车辆的起步阶段等。平稳过程：统计性质、趋势是与时间无关。它的严格定义如下。对任意n个不同时刻t1，t2，tn和任一实数e，如果随机过程X(t)的n维概率分布函数P(xl，x2，xn；t1，t2，tn)(n=1，2，)满足：(5.16)则称X(t)是平稳随机过程，简称平稳过程。可以这样形象理解平稳过程的特点：如果将平稳过程X(t)的时域图象在时间轴上做一任意平移
10、e(左移或右移)得到一个新的随机过程Y(t)，即则Y(t)与X(t)有完全一样的统计特性。平稳过程的一个等价的定义为，如果随机过程X(t)的n维概率密度函数p(xl，x2，xn；t1，t2，tn)(n=1，2，)满足： (5.17)则称X(t)是平稳随机过程。平稳过程的数字特征特点：平稳过程的一维概率密度函数和概率分布函数均与所选取的时刻无关，因此一般将它们写成p(x)和P(x)。对于二维概率密度函数，因为有令e =-t1，t =t2-t1，代人上式有上式表明，平稳过程X(t)任意相差t 的两个时刻t1，t2t1+t 的随机变量X(t1)和X(tl+t)之间的二维概率密度函数与0时刻和t 时刻
11、的随机变量X(0)和X(t)之间的二维概率密度函数相同。因此，平稳过程的二维概率密度函数只与所取的两个时刻tl，t2的时差t t2-t1有关，可以写成(5.18)这里t为任一时刻。同样，二维概率分布函数也只与所取的两个时刻t1，t2的时差t =t2-t1有关，有（5.19）平稳过程的数字特征有如下的性质：l. 数学期望(均值)是与时间t无关的常数。(5.20)2. 方差是与时间t无关的常数。(5.21)3. 相关函数仅仅是单变量时差t 的函数。(5.22)三条性质表明，平稳过程的任一个状态的均值、均方值都相等。两个状态之间的相关函数仅仅是两个状态之间的时差t 的函数。如果随机过程X(t)，Y(
12、t)均是平稳随机过程，则X(t)，Y(t)的互相关函数也只是单变量时差t 的函数。(5.23)由于平稳随机过程有上述性质，因而，如果X(t)是平稳随机过程，则符号X(t)既可表示平稳随机过程本身，又可表示平稳随机过程在时刻t时的状态。5.3.2 各态遍历过程随机过程的每一个样本函数可以在时域中求得它的数字特征sxr、mxr和Rxr(t)。对平稳过程可以对上述数字特征再做集合平均，可得到随机过程的数字特征，即mx=Exr sx=Esxr (5.24) Rx(t)=ER xr各态遍历过程：在时域描述中，如果随机过程X(t)的样本函数的数字特征sxr、mxr、Rxr(t)的数值大小与所选取的样本函数
13、无关，即所有的样本函数具有相同的数字特征，这意味着这个随机过程的数字特征可由它的任一样本函数的数字特征得到。由式(5.24)可知，随机过程的数字特征的时间平均结果将与集合平均结果相等。因而，随机过程X(t)的集合平均可通过样本平均得到。具有这种性质的随机过程称为各态历经过程或各态遍历过程，简称遍历过程。5.4 正态随机过程正态随机过程(简称正态过程)指随机过程的概率密度函数是正态的。例如各态遍历正态过程X(t)的一维概率密度函数为(5.25)它仅由X(t)均值和方差决定。而两个各态遍历正态过程X(t)、Y(t)的二维概率密度函数仅由它们的均值、方差，相关系数决定。(5.26)这里(5.27)为
14、X(t)、Y(t)的相关系数。而(5.28)为X(t)、Y(t)的协方差。正态过程的更高阶概率密度函数也完全由其均值、方差，相关系数决定。对均值mx为零的正态过程X(t)，它在区间(-3sx，3sx)以外取值的概率为0.27%。因此，它的最大值可取为3sx。工程中大量的随机振动可以认为是正态随机振动。正态过程有如下的特点：1许多工程中的振动问题可用正态过程描述。2正态过程的线性变换仍然是正态过程。因此对线性振动系统，如果激励是正态过程，响应也一定是正态过程。3只要知道正态过程的数字特征如均值、方差、相关系数，就能完全确定它的统计特性。5.5 相关函数5.5.1 相关系数相关问题是指两个变量之间
15、的相互关系。对于随机变量X，Y而言，在工程中往往采用拟合的方法确定其函数关系即(529)或(5.30)式(5.29)和(5.30)说明，从不同的角度处理因果关系会得出不同的表达式。如果X，Y之间有准确的相关性(线性关系)，这两个表达式必须相同，即必须有相关系数。实际中通常并不为1，但由于可以得到(5.31)如果X，Y不相关，即X与Y没有任何关系，则rxy=0。可见，rxy的大小可以表示X，Y的相关程度。5.5.2 自相关函数平稳随机过程X(t)的不同时刻的状态之间有密切的联系。相关系数rx(t)x(t+t)表示时刻t和t+t 的状态X(t)和X(t+t)之间的相关程度，可以用来描述这种联系。对于平稳随机过程，mx，sx均与时间无关，这
