《2011年高考一轮数学复习 9-7多面体和球理 同步练习（名师解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011年高考一轮数学复习 9-7多面体和球理 同步练习（名师解析）（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第9章 第7节 知能训练提升考点一：球的截面性质及球面距离1已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点，如图如果ABACBC2，则球心到平面ABC的距离为()A1B.C. D2答案：A2设M、N是球O半径OP上的两点，且NPMNOM，分别过N、M、O作垂直于OP的平面，截球面得三个圆，则这三个圆的面积之比为()A356 B368C579 D589解析：设球的半径为3R，依题意，得过N，M，O作垂直于OP的平面，截球面得到三个圆的半径的平方分别是(3R)2(2R)25R2、(3R)2R28R2、(3R)29R2，因此这三个圆的面积之比为589，选D.答案：D3把边长为的正方形ABCD沿对角线A
2、C折成直二面角，折成直二面角后，在A，B，C，D四点所在的球面上，B与D两点之间的球面距离为()A.B C.D.解析：由题意可知AC2，取AC中点O，由A、B、C、D四点在同一球面上，且OAOBOCOD，知O为球心，半径R1.易知BOD为直二面角的平面角，BOD，B、D两点间的球面距离lR.答案：C4(2009江西九校联考)已知球O的表面积为16，且球心O在60的二面角l的内部，若平面与球相切于M点，平面与球相截，且截面圆O1的半径为，P为圆O1的圆周上任意一点，则M、P两点的球面距离的最小值为_解析：如图，依题意，OM，OO1，球的表面积为16，球的半径r2，OM2，过M作MAl，平面与球相
3、截，连接AO1，交截面圆O1于P，此时点P即为所求，则截面圆O1的半径O1P，MAO160，MOO1120，在直角三角形PO1O中，PO2，POO160，POM60，M、P两点的球面距离为.答案：考点二：球的表面积与体积5已知球的两个平行截面的面积分别为49、400，且两个截面之间的距离为9，求球的表面积解：右图为球的一个大圆截面O1A249，则O1A7.又O2B2400，O2B20.(1)当两截面在球心同侧时，OO1OO29，解得R2625，S球4R22 500.(2)当两截面在球心异侧时，OO1OO29，无解综上，所求球的表面积为2 500.6球面上有三点A、B、C，任意两点之间的球面距离
4、都等于大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为4，则此球的体积为()A4 B4C8 D8解析：设球的半径R，则任意两点的球面距离为2RR，两点连弧(大圆弧)所对圆的圆心角为，两点的连线长度为R，则这三点构成正三角形，边长为R，过这三点的截面圆的半径为RR，面积为()R24，所以R，所以VR38.答案：D考点三：球的组合体7在三棱锥SABC中，SA底面ABC，侧面SBA和侧面SBC成直二面角(1)求证：侧面SBC为直角三角形；(2)若BSC45，SBa，求三棱锥SABC的外接球的体积分析：(1)欲证侧面是直角三角形即证明BCSB即可(2)求外接球的体积的关键是找到球心的位置，求出半径，然后
5、利用体积公式求解解：(1)证明：过A作ADSB于点D，平面SBA平面SBC，AD平面SBC.BC平面SBC，BCAD.SA底面ABC，BC底面ABC，SABC.BC平面SAB，BCSB.侧面SBC为直角三角形(2)取SC的中点为O，连结AO、BO.在RtSAC与RtSBC中，OASOOCOB，即O到三棱锥SABC的四个顶点的距离相等，O为球心SBa，BSC45，SCa.球半径Ra.VR2a3.三棱锥SABC的外接球的体积为a2.8(2010淮安模拟)(1)三棱锥ABCD的两条棱AB、CD，满足ABCD6，其余各棱长均为5，求三棱锥的内切球的半径；(2)若正四面体的四个顶点都在表面积为36的一个
6、球面上，求这个正四面体的高解：(1)如下图，取CD的中点E，连结AE、BE.因为ACAD，CEED.所以在RtACE中，AE4.同理，可得BE4.因为AB6，所以AB边上的高为.所以SABE63.因为AECD，BECD，所以CD平面ABE.所以VABCD366.S表SABC448，而S表RVABCD，解得R.因此内切球的半径为.(2)如下图，设四面体边长为x，设球半径为R，所以AHx,4R236.所以R3.在RtAHO中，OH2OA2AH232(x)2，又在RtAHS中，SH2SA2AH2，所以SH2x2(x)2x2，( )2(x)29，解得x2.所以h4，故正四面体的高为4.1.(2009四
7、川)如图，在半径为3的球面上有A、B、C三点，ABC90，BABC，球心O到平面ABC的距离是，则B、C两点的球面距离是()A. BC. D2解析：过球心O作平面ABC的垂线交平面于D，ABC90，BABC，则D在直线AC上由于OD，则CD.AC3.由ABC为等腰直角三角形可得BC3，OBC为等边三角形，则B、C两点的球面距离是3.答案：B2(2009陕西)如图，球O的半径为2，圆O1是一小圆，O1O，A、B是圆O1上两点，若A，B两点间的球面距离为，则AO1B_.解析：由A、B两点间的球面距离为，知AOB，则AB2.又OO1，则O1AO1B，AO1B中，有O1A2O1B2AB2，故AO1B.
8、答案：3(2009湖北)如图，卫星和地面之间的电视信号沿直线传播，电视信号能够传送到达的地面区域，称为这个卫星的覆盖区域为了转播2008年北京奥运会，我国发射了“中星九号”广播电视直播卫星，它离地球表面的距离约为36 000 km.已知地球半径约为6 400 km，则“中星九号”覆盖区域内的任意两点的球面距离的最大值约为_km.(结果中保留反余弦的符号)解析：如图，cosAOB，球面距离的最大值约为6 4002arccos12 800 arccos.答案：12 800 arccos4(2009全国卷)直三棱柱ABCA1B1C1的各顶点都在同一球面上若ABACAA12，BAC120，则此球的表面
9、积等于_解析：由题意，知球心O在线段O1O2的中点上，在ABC中，由余弦定理得，BC2，在AO1C中，由正弦定理得2O1C4，即O1C2，设球半径为R，在RtOO1C中，OO11，O1C2，OCR，又R2145，球的表面积为S4R220.答案：201.正三棱锥ABCD的侧棱长为，侧面与底面成60角，则它的外接球的体积为()A. B.C. D.解析：O1是A在平面BCD的射影，连结AO1，延长与外接球交于E，则AE是该球的直径连结BO1，并延长交CD于F，连结AF，则AFB60，设底面边长为a，则由图可知，BFa，于是在AO1B中，由AO1B90得AO1.在AO1F中，由AO1F90得AO1FO1tan60aa.由，得a，即a2.于是AO11，AB.在ABE中，由ABE90(这是因为AE是球的直径)，得AB2AO1AE，所以AE.从而外接球的体积V()3.答案：B2在正三棱锥SABC中，侧棱长SA2，M、N分别是棱SC、BC的中点，且MNAM，则此三棱锥外接球的表面积是_解析：MNSB，MNAM，SBAM.又SBAC，SB平面SAC.同理可知SA平面SBC，SC平面SAB.此三棱锥的外接球的直径等于以S为顶点、SA，SB，SC为相邻棱长的长方体的对角线，即2R6.三棱锥外接球的表面积等于36.答案：36
