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1、衢州学院学年论文 题 目： 神奇的斐波那契数列姓 名： 学 号： 4111012128 院 别： 教师教育学院 系： 数理系 所在专业： 数学与应用数学（师范） 指导教师： 职 称： 教 授 2017年10月15日目 录1斐波那契数列21.1斐波那契数列产生的背景21.2斐波那契数列的通项公式21.3斐波那契数列的几个奇特性质22 斐波那契数列与其它对象的联系22.1 斐波那契数列与黄金分割数的联系22.2斐波那契数列与代数、概率中问题的联系23 斐波那契数列的应用23.1在股市的应用23.2在中学数学中的应用23.3应用推广2参考文献：2致谢辞2衢州学院教师教育学院数理系数学与应用数学（师范
2、）专业学年论文神奇的斐波那契数列【内容摘要】首先介绍了斐波那契数列产生的背景及其一些历史研究成果；然后给出了该数列与黄金分割数、代数、概率问题存在的联系；最后讨论了斐波那契数列在股市和中学数学两个方面的应用.斐波那契数列在自然界、现实生活和学习中大量存在并发挥着它的作用，更多的奥秘正等待着人们去认识、研究和发现.【关键词】斐波那契数列；生小兔问题；菠萝的鳞片；松果和向日葵1斐波那契数列1.1斐波那契数列产生的背景1.1.1生小兔问题引起的斐波那契数列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,斐波那契数列的发明者是意大利数学家列昂纳多斐波那契，他生于公
3、元1170年，卒于1240年，籍贯是比萨，被人称作“比萨的列昂纳多”.1202年，他撰写了算盘书.他是第一个研究印度和阿拉伯数学理论的欧洲人.他的父亲被比萨的一家商业团体聘任为外交领事，派驻地点相当于今日的阿尔及利亚地区，列昂纳多因此得以在一个阿拉伯老师的指导下研究数学.他曾在埃及、叙利亚、希腊、西西里和普罗旺斯研究数学.斐波那契在他的算盘书中提出了一个有趣的生小兔问题1：兔子出生以后两个月就能生小兔，若每次不多不少恰好生一对（一雌一雄），且每月生一次.假如养了出生的小兔一对，则一年以后共可有多少对兔子（如果生下的小兔都不死的话）?我们来推算一下.如图1所示：图1第1个月：只有1对兔子；第2个
4、月：兔子还未成熟不能生殖，仍然只有1对兔子；第3个月：这对兔子生了1对兔子，这时共有2对兔子；第4个月：老兔子又生了1对兔子，而上月出生的兔子还未成熟,这时有3对兔子；第5个月：这时已有2对兔子可以生殖（原来的老兔和第3个月出生的兔子），于是生了2对兔子，这时共有5对兔子；如此推算下去，我们不难得出下面的结果：表1月份数12345678910111213兔子数（对）1123581321345589144233从表中可知：一年后（第13个月时）共有兔子233对.若n表示月份数，表示兔子对数，则得斐波那契数列，且称为斐波那契数.1634年数学家吉拉德发现（那已经是斐波那契死后四百年的事了）：斐波那
5、契数列之间有如下的递推关系.由于这一发现，生小兔问题引起了人们的极大兴趣，首先计算这列数便捷多了，再者由于人们继续对这个数列的探讨，又发现了它的许多奇特性质.比如它的项数间有更一般的关系：.1680年，卡西尼发现了下面关于斐波那契数列项间更重要的关系：即从第二项开始，每个奇数项的平方都比前后两项之积多1，每个偶数项的平方都比前后两项之积少1.1753年，西姆森发现斐波那契数列中前后两项和之比是连分数 的第n个渐进分数.1864年，法国数学家拉梅利用斐波那契数列证明：应用辗转相除法的步数不大于较小的那个数的位数的5倍.这是斐波那契数列的第一次有价值的应用.1876年，数学家卢卡斯发现：方程的两个
6、根的任何次方幂的线性组合都满足关系式：.20世纪50年代出现的“优选法”中，也找到了斐波那契数列的巧妙应用，从而使得这个曾作为故事或智力游戏的古老的“生小兔问题”所引出的数列，绽开了新花.由于这个数列越来越多的性质被人们发现，越来越多的应用被人们找到，因而这一数列引起了敏感的数学家们的极大关注和热情，随后一本专门研究它的杂志斐波那契季刊于1963年开始发行.1.1.2斐波那契数列的踪迹不止在生小兔问题中，在现实生活、经济、自然界等中我们也总能见到斐波那契数列的身影，如植物叶序、树枝生长、人类历史的演变周期、生产能力发展变化趋势等.下面的一些例子2不乏为斐波那契数列神、奇、特的体现.1) 植物花
7、瓣与斐波那契数花瓣数 花种3百合和蝴蝶花5蓝花耧斗菜、金凤花、飞燕草、毛茛花8翠雀花13 金盏和玫瑰21 紫宛34、55、89 雏菊2) 菠萝的鳞片与斐波那契数列把菠萝中心线视为Z轴，与之垂直的平面叫XOY平面（如图2），量出菠萝的鳞片表皮六边形中心距XOY平面的距离（按照某个比例单位），把它们记录下来填到图3,那些彼此联系着的鳞状表皮上的数有三个方向是按照等差数列方式排列的：0，5，10，15，20，（公差d是5，与之方向平行的各鳞片上的数字也如此）；0，8，16，24，32，（公差d是8，与之方向平行的各鳞片上的数字也如此）；0，13，26，39，52，（公差d是13，与之方向平行的各鳞片
8、上的数字也如此）.这三个方向上所给出的各等差数列，其公差分别是5，8，13它们恰好是斐波那契数列中的三项. 图2 图33）向日葵花盘内葵花子排列的螺线数与斐波那契数列向日葵花盘内，种子是按对数螺线排列的，有顺时针转和逆时针转的两组对数螺线.两组螺线的条数往往成相继的两个斐波那契数，一般是34和55，大向日葵是89和144，还曾发现过一个更大的向日葵有144和233条螺线，它们都是相继的两个斐波那契数.松果种子的排列和菜花表面的螺线数也有类似特点.这一模式被广泛研究并给出解释：这是植物生长的动力学特性造成的；这使种子的堆集效率达到最高.4) 生物学与斐波那契数列1123581311 11 2 1
9、1 3 3 11 4 6 4 11 5 10 10 5 11 6 15 20 15 6 1树木的生长，由于新生的枝条，基本上都需要一段“休息”时间，补充自己由于新生枝条的消耗，而后当补满消耗之后才能萌发新枝因此，树苗在一段间隔，比如一年以后长出一条新枝；第二年新枝“休息”，老枝继续萌发；此后，老枝与“休息”过一年的新枝同时萌发，当年生的新枝则次年“休息”这样，一株树木各个年份的枝桠数，便构成斐波那契数列这个规律，就是生物学上著名的“鲁德维格定律”.5) 杨辉三角与斐波那契数列如图4所示，画一与水平方向成角的斜线， 图4可以由杨辉三角得到斐波那契数列.6) 蜜蜂的家谱与斐波那契数列 蜜蜂的“家谱
10、”:蜜蜂的繁殖规律十分有趣.雄蜂只有母亲，没有父亲，因为蜂后所产的卵，受精的孵化为雌蜂（即工蜂或蜂后），未受精的孵化为雄蜂.人们在追溯雄蜂的家谱时，发现1只雄蜂的第n代子孙的数目刚好就是斐波那契数列数列的第n项.7) 仙人掌的结构与斐波那契数列在仙人掌的结构中有这一数列的特征.研究人员分析了仙人掌的形状、叶片厚度和一系列控制仙人掌情况的各种因素，并将所得数据输入电脑，结果发现仙人掌的斐波那契数列结构特征能让仙人掌最大限度地减少能量消耗，适应其在干旱沙漠的生长环境.创新生活：斐波那契数列常与诸多自然现象相吻合，菠萝的鳞片结构、松果和向日葵的种子堆积方式等都与斐波那契数有关，它们的出现是植物适应自
11、然的和谐生长方式，这是数列与自然美的完美体现.我们也可以利用这一紧凑而和谐的生长方式去创新和设计我们的生活.例如种植架可以设计成菠萝状，菠萝鳞片处挖空种植适宜的草药，利于上面的植物花粉掉落达到授粉目的和更密集生长；灯具设计上可以采用菠萝状，以求更为绚丽；喷水灌溉系统的喷头设计成松果喷头，以求水量充足下的更稠密和均匀；家庭浴室喷头采用向日葵种子分布结构不乏更为均匀合理；鲜花束的插制利用松果螺旋等.1.2斐波那契数列的通项公式斐波那契数列的通项公式：.此式又称为“比内公式”,以最初证明它的法国数学家比内命名.该等式的左边是正整数，而等式的右边却是用无理数来表达的3,斐波那契数列的神奇性不言而喻.证
12、明：利用特征方程（线性代数解法）线性递推数列的特征方程为,解得，则， ，把代入解得,所以 .除此之外，通项公式的推导还有初等代数法、构造等比数列法、迭代法等.1.3斐波那契数列的几个奇特性质斐波那契数列被发现有许多有趣的特性，下面仅列出其中的5条供大家欣赏.1）斐波那契数列的第n+2项同时也代表了集合1,2,.,n中所有不包含相邻正整数的子集个数；2）第3、6、9、12等项的数字能被2整除；第4、8、12等项的数字能被3整除；第5、10等项的数字能被5整除；其余依此类推；3）从斐波纳数列中任意选出10个连续的数，它们的和等于这10个数中第7个数的11倍；4）；5）前n项和： .2 斐波那契数列
13、与其它对象的联系2.1 斐波那契数列与黄金分割数的联系黄金数与斐波那契数列之间有关系式 .4早在古希腊，那时的人们就已经认识到0.618的神奇性，并将其广泛应用到建筑和绘画等领域.现在它的应用更为广泛，例如人体模型设计、风景照中地平线位置的安排、舞台主持人的最佳站位、小说戏曲高潮的出现，决策与管理中的优选法等都选择按黄金比.除此之外我们还可以利用比内公式推得斐波那契数列与黄金数之间的一些关系式.1）2）3）黄金数恒位于两相邻分数和之间，且更靠近后一个分数，即4）在所有分母不大于的分数中，以最接近（即最佳渐进分数）.2.2斐波那契数列与代数、概率中问题的联系1)一个由求方程近似解而得到斐波那契数列的例子.我们用迭代的方法求方程的正的近似解:令.由，知在（0，1）间有解.由,得,考虑迭代格式：.令（称为第0次迭代），则（第1次迭代）； （第2次迭代）；（第3次迭代）；（第4次迭代）；（第5次迭代）， 我们已经看到，各次迭代的近似解的分子、分母都恰好是构成一个斐波那契数列.2)一个与古典概率问题研究有关的例子.连续抛一枚硬币，直到连续出现两个正面为止.假定事件发生在第n次抛掷的情形：我们用H表示硬币的正面，用T表示硬币的反面，从下表可以看出：事件发生在第n次的所有可能的种类数恰为.表
