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1、2011届高考数学二轮专题六 概率与统计（理科）概率与统计的解答题在近年来的历次高考中都有涉及，且大部分地区的考题以解答题为主。随着国家新课程改革标准对加强学生应用意识和能力要求的确认，考查学生应用知识解决实际问题能力的应用问题现已成为全国高考试题不可或缺的内容，分值基本稳定在12分。概率这部分主要考查的内容是什么呢？其考点主要是对等可能事件的概率计算公式、互斥事件的概率加法公式、相互独立事件的概率乘法公式、事件在n次重复试验中恰好发生k次的概率计算公式等四个基本公式的应用和离散型随机变量的分布列、期望、方差及抽样方法、抽样概率等问题。概率与统计部分的题目设置位置相对靠前，按规律属于得分题目，
2、考查的知识点不外乎是求随机变量的分布列及数学期望，偶尔也会考查到方差的问题。等可能事件的概率相互独立事件的概率互斥事件的概率随机变量概率与统计连续型随机变量离散型随机变量正态分布分布列几何分布二项分布期望方差标准差考查等可能事件概率计算在一次实验中可能出现的结果有n 个，而且所有结果出现的可能性都相等。如果事件A包含的结果有m 个，那么P（A）= 。这就是等可能事件的判断方法及其概率的计算公式。考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式计算。事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概
3、率没有影响，则A、B叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为。用概率的法公式计算。考查对立事件概率计算必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。即或。用概率的减法公式计算其概率。考查独立重复试验概率计算及其概率分布与期望计算 若在次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做次独立重复试验。若在1 次试验中事件A发生的概率为P，则在次独立惩处试验中，事件A恰好发生次的概率为。考查随机变量概率分布与期望计算（ 1 ）离散型随机变量：如果对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量.若是一个随机变量，是常数.则也是一个随机变量.一
4、般地，若是随机变量，是连续函数或单调函数，则也是随机变量.也就是说，随机变量的某些函数也是随机变量（ 2 ）随机变量的概率分布:设离散型随机变量可能取的值为：取每一个值的概率，则表称为随机变量的概率分布，简称的分布列来源:学科网性质； ( 3 ) 随机变量的数学期望:，的数学期望也称作平均数、均值.又简称期望.数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平，随机变量的数学期望： 当时，即常数的数学期望就是这个常数本身当时，即随机变量与常数之和的期望等于的期望与这个常数的和当时，即常数与随机变量乘积的期望等于这个常数与随机变量期望的乘积 (4) 随机变量的方差：称为随机变量的均方差，简称为方差，式中
5、的是随机变量的期望性质：（1）；（2）； ( 5 ) 常见的离散型随机变量的分布二项分布:B(n,p).并记b(k；n，p)01kn来源:学科网ZXXKP, 解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率的公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。考点一 期望与方差例1：设随机变量具有分布P(k)，k1,2,3,4,5，求(2)2，【名师点睛】：是随机变量，则f()一般仍是随机变量，在求的均值和方差时，熟练应用均值和方差的性质，可以避免再求的分布列带来的繁琐运算例2：有甲、乙两个建材厂，都想投标参加某重点建设，为了对重
6、点建设负责，政府到两建材厂抽样检查，他们从中各抽取等量的样品检查它们的抗拉强度指数如下：110120125130135 P0.10.20.40.10.2100115125130145P0.10.20.40.10.2 其中和分别表示甲、乙两建材厂材料的抗拉强度，在使用时要求抗拉强度不低于120的条件下，比较甲、乙两建材厂材料哪一种稳定性较好【名师点睛】：随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要的理论依据，一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定考点二 离散型随机变量的分布、期望与方差例3：如
7、图，一个小球从M处投入，通过管道自上而下落到A或B或C。已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的。某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A，B，C，则分别设为1，2，3等奖。（）已知获得1，2，3等奖的折扣率分别为50%，70%，90%。记随机变量为获得k（k=1，2，3）等奖的折扣率，求随机变量的分布列及期望E；（）若有3人次（投入1球为1人次）参加促销活动，记随机变量为获得1等奖或2等奖的人次，求P(=2).【名师点睛】：求期望和方差的步骤：（一）确定随机变量的允许值；（二）计算相应的概率；（三）写出分布列；（四）代入期望和方差公式求解。例4：某学校数学兴趣小组有10
8、名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动。（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；（3）记表示抽取的3名学生中男学生数，求的分布列及数学期望。【名师点睛】：运用古典概型公式解题时,需确定出全部的基本事件的个数及所求概率对应的基本事件数, 同时可用排列、组合的知识计算.注意恰当分类，分清有无放回，判断是否有序等. 例5：今年国庆节期间,上海世博会中国馆和美国馆异常火爆，10月1日中国馆内有2个广东旅
9、游团和2个湖南旅游团，美国馆内有2个广东旅游团和3个湖南旅游团 . 现从中国馆中的4个旅游团选出其中一个旅游团，与从美国馆中的5个旅游团中选出的其中一个旅游团进行互换. （1）求互换后中国馆恰有2个广东旅游团的概率；（2）求互换后中国馆内广东旅游团数的期望. 【名师点睛】：确定随机变量的取值，利用古典概型求解事件概率问题,应明确是否满足古典概型的两个特征,计算的关键是分清基本事件的个数n与事件A包含的结果m.计算几何概率往往是先计算基本事件与事件A包含的基本事件对应的长度(角度、面积、体积),多与积分、线性规划等问题综合.求随机变量的分布列，求随机变量的数学期望。例6：在本次考试中共有12道选
10、择题，每道选择题有4个选项，其中只有一个是正确的。评分标准规定：每题只选一项，答对得5分，不答或答错得0分。某考生每道题都给出一个答案。某考生已确定有9道题的答案是正确的，而其余题中，有1道题可判断出两个选项是错误的，有一道可以判断出一个选项是错误的，还有一道因不了解题意只能乱猜。试求出该考生：（）选择题得60分的概率；（）选择题所得分数的数学期望【名师点睛】：确定随机变量的取值，利用概率公式求P(AB)，求事件和的概率必须分清事件是否互斥,求事件积的概率必须注意事件的独立性.求随机变量的分布列，求随机变量的数学期望。例7：某次乒乓球比赛的决赛在甲乙两名选手之间举行，比赛采用五局三胜制，按以往
11、比赛经验，甲胜乙的概率为（1）求比赛三局甲获胜的概率；（2）求甲获胜的概率；（3）设甲比赛的次数为，求的数学期望【名师点睛】：这是一个以独立重复试验概型为基本考查点的概率试题，但这里又不是单纯的独立重复试验概型，是一个局部的独立重复试验概型和相互独立事件的结合这类比赛型的概率试题也是一个重要的概率模型。例8：甲、乙两队参加奥运知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为，乙队中3人答对的概率分别为，且各人正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分(1)求随机变量的分布列和数学期望；(2)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B
12、表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P(AB)【名师点睛】：注意恰有k次发生和某指定的k次发生的差异,对独立重复试验来说,前者的概率为pk(1 -p)n-k,后者的概率为pk(1-p)n-k.有些问题的模型显得较为隐蔽，这时我们可以多做一点尝试，弄清其模型，再设计相应的答题策略.在解答过程中，需注意答题的规范性.例9：图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月平均用水量（单位：吨）的频率分布直方图。（）求直方图中的值；（）如将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数的分布列与数学期望。【名师点睛】：1.求期望与方差的基本方法：(1)已知随
13、机变量的分布，求它的期望、方差和标准差，可直接按定义(公式)求解(2)已知随机变量的期望、方差，求的线性函数ab的期望和方差、标准差，可直接用的期望、方差的性质求解考点三 频率分布直方图，条形图，茎叶图例10：某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与19秒之间，将测试结果按如下方式分成六组：第一组，成绩大于等于13秒且小于14秒；第二组，成绩大于等于14秒且小于15秒；第六组，成绩大于等于18秒且小于等于19秒.下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.设成绩小于17秒的学生人数占全班总人数的百分比为x,成绩大于等于15秒且小于17秒的学生人数为y，则从频率分布直方图中可分析出x和
14、y分别为（） A.0.9,35B.0.9,45 C.0.1,35D.0.1,45【名师点睛】：在统计中，为了考查一个总体的情况，通常是从总体中抽取一个样本，用样本的有关情况去估计总体的相应情况.这种估计大体分为两类，一类是用样本频率分布估计总体分布，另一类是用样本的某种数字特征（例如平均数、方差等）去估计总体的相应数字特征.例11：右图是根据山东统计年鉴2007中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字,右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字.从图中可以得到1997年至2006年我省城
15、镇居民百户家庭人口数的平均数为（）A.304.6B.303.6 C.302.6 D.301.6【名师点睛】：从茎叶图中读出数据是关键，为此，首先要弄清“茎”和“叶”分别代表什么.考点四线性回归分析例12、某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了1至6月份每月10号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料:日 期1月10日2月10日3月10日4月10日5月10日6月10日昼夜温差x(C)1011131286就诊人数y(个)222529261612 该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取2组,用剩下的4组数据求线性回归方程,再用被选取的2组数据进行检验 ()求选取的2组数据恰好是相邻两个月的概率；(5分) ()若选取的是1月与6月的两组数据,请根据2至5月份的数据,求出
