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1、考研数学指导（10）微分是个新起点 微分学研究函数的方法，是用函数的导数回头去研究函数。这和物理学用速度及加速度去研究物体运动是一个道理。微分则是运用导数研究函数的起点。 线性关系是最简单的函数关系。我们在生活中遇到的正比例问题举不胜举。而讨论非线性问题，总是件很困难的事。到朋友家要上楼，如果他们家的楼梯是非线性的，多半你会摔个跟头。 “能否把非线性问题线性化？”这是人们在经验基础上的自然思考。实际上，非线性问题就是非线性问题，所谓“线性化”，只是用一个“合适的” 线性模型去近似非线性模型。即 非线性模型 = 线性模型 + 尾项（尾项= 非线性模型线性模型）， 关键在于表示尾项，研究尾项！找到
2、尾项可以被控制的逼近模型。 把这个思想落实到函数上，就是，在中心点x0邻近，能否有 y = Ax + 尾项 ，尾项 = yAx能否是比x高阶的无穷小？ 如果能，就称函数在点x0可微分。简称可微。记 dy = Ax ，称为函数的微分，又称为函数的线性主部。 将可微定义等式两端同除以x，令x趋于零取极限即知，若函数在点x0可微，则 A就是函数在点x0的导数 f (x0)；从而 y = f (x0)x +(x) ；(x)表示“比x高阶的无穷小。” 或y = dy+(x) ； dy = f (x0)x = f (x0) dx 要是需要，我们可以丢去尾项，微局部地得到函数值的（线性的）近似计算式。由于丢
3、去的尾项是比x高阶的无穷小，如果x 0.01 ,那么，绝对誤差也小于0.01 不丢尾项，我们得到函数的一个新的（微局部地）有特定含义的表达式： f（x）= f（x0）+ y = f（x0）+ f (x0)x +(x) 历史上，这个表达式称为，“带皮阿诺余项的一阶泰勒公式”。 近一步可以证明，可微与可导等价。 例 41 设函数f（u）可导，y = f（x平方）当自变量x在点x = 1取得增量x =0.1时，相应的函数增量y的线性主部为0.1，则f (1) = _ 分析y的线性主部即是微分dy ，而 y(x)= f(u)2x , y(1) =2f(1)故 dy= y(x) dx 具体为 0.1 =
4、 y(1)( 0.1) ，解得f (1) = 1/2 函数 f（x）在一个区间上可导时，我们记微分 dy = f (x)dx 。但是不能忘了微分的微局部意义。 函数可微，且f (x0)0时，还可以把可微定义等式变形为y / f (x0)x = 1 + (x)f (x0)x 令 x 0 取极限，即知 y和dy是等价无穷小。 为了考试，要尽可能记住一些常用的等价无穷小，例如在x 0过程中 sinx x； ln（1+x） x；e xp（x）1 x；（1+ x）1 x2 它们都是在原点计算y和dy而获得的。最好再记住 1cosx x 平方2两条经验： （1）常用等价无穷小的拓展例如，若在某一过程中，若
5、 （x）是无穷小，则 sin（x） （x） ； ln（1+ （x） （x） ；e （x）1 （x） （1+ （x）1 （x）2 ；1cos （x） （x）平方2 （2）等价无穷小的差为高阶无穷小。 例42设当x 0时，（1cosx）ln（1+x平方）是比 x（sinx的n次方） 高阶的无穷小； 而 x (sinx的n次方) 是比 exp（x平方）1 高阶的无穷小，则正整数 n = ？ 分析 x 0 时，（1cosx）ln（1+x平方）为 4 次方级的无穷小；x(sinx的n次方)是n+1次方级； exp（x平方）1是 2 次方级，由已知，2n+14 ，只有n = 2 我们还可以学会主动选定中心
6、点，计算y和dy来获得等价无穷小。 例43 设在区间 1/2，1）上，f（x）= 1/x + 1/sinx1/（1x），试补充定义函数值f（1），使函数在闭区间上连续。 分析 （1）点1是右端点，按照连续的定义，应该补充定义f（1）为函数在点1的左极限。 （2）观察函数结构，第一项是连续函数求极限。第二，三项形成“无穷无穷”未定式。 （3）“计算无穷无穷，能通分时先通分”。 通分后化为0/0型未定式。求商的极限是否顺利，关健在于分母。要尽可能先简化分母。 （4）公分母 为 (1x）sinx ,可以考虑在点 1 计算 sinx 的等价无穷小 因为sin= 0 ,故 y = sinx ；而 dy
7、=conx =（x1） 作等价无穷小因式替换，分母变成二次函数，再用洛必达法则求极限，一定顺利。 学习本是为了用，该出手时就出手。你不妨直接用洛必达法则求通分后的0/0型未定式极限。作个对比。 例44 设函数f (x)在x = 0的某邻域内有连续的一阶导数，且f (0)0，f (0) 0，若 a f（h）+ b f（2h）f（0）在h 0时是较h高阶的无穷小，试确定数a和b的值。 分析由高阶无穷小的定义得h 0时lim (a f（h）+ b f（2h）f（0）) / h = 0 记 F(h)= a f（h）+ b f（2h）f（0），F连续。于是（用“基本推理”）由极限式与连续性推出 F(0)
8、= lim F(h)=（a + b + 1）f（0）= 0 ，只有 a + b + 1 = 0同时 （F(h)F(0) / h = F(h) / h，再由极限式得 F (0)= 0实际上， F (h) = af (h) + 2b f (2h)， F (0) = （a + 2b）f (0) = 0这就有第二个方程 a + 2b = 0 ；联解之，a = 2，b = 1 *分析二换一个思考方法，可微分定义式给了函数一个新的（微局部意义的）表达式。试用一下。 设想h充分靠近0，则f（x）= f（0）+f (0)x +(x) （中心点是原点，x = x 0 = x）故 f（h）= f（0）+f (0)
9、h +(h) f（2h）= f（0）+ f (0)2h +(h) 从而 a f（h）+ b f（2h）f（0）=（a+b1）f（0）+（a+2b）f(0)h +(h) 要它在h 0时是比h高阶的无穷小，常数项和h项系数必需为0，获得两个方程。考研数学指导（11）洛尔定理做游戏 洛尔定理既为中值定理做准备，又在函数零点讨论方面具有独立意义。洛尔定理的证明中，逻辑推理既有典型性，又简明易懂。因而洛尔定理成为考研数学的一个特色考点。 我国的大学数学教材，通常把“费尔玛引理”的证明夹在洛尔定理的证明中，使得证明显得冗长。我先把它分离出来。（画外音：这可是个难得的好习题。） 1费尔玛引理 若可导函数在区
10、间内一点取得最值，则函数在此点的导数为0 分析我们复习一下“构造 法”。已知或讨论函数在某一点的导数，不仿先写出导数定义算式，观察分析增量商。这是基本思路。 “老老实实”地写：设函数在区间内一点x0取得最大值。写出增量商(f（x）f（x0）)/（xx0） “实实在在”地想：它有什么特点呢？ f（x0）最大，分子函数增量恒负，分母自变量增量左负右正。这样一来， 增量商在x0左侧恒正，（负负得正）。其左极限即左导数非负。（潜台词：极限可能为0） 增量商在x0右侧恒负。故右极限即右导数非正。 函数可导，左，右极限存在且相等，导数只能为0 （画外音：导数为0，不是直接算出来，而是由逻辑推理判断得到的。
11、你能否由此体会到一点数学美呢 。） 2洛尔定理 若 函数 f（x）在闭区间 a，b 连续，在（a，b）内可导，且端值相等。则必在（a，b）内一点 处导数为 0 分析函数在闭区间 a，b 连续 函数必有最大最小值 端值相等 只要函数不是常数，端值最多只能占最值之一。至少有一最值在区间内。 函数在（a，b）内可导 内部的最值点处导数为0 请看看，分离证明，前段运用导数定义，符号推理非常典型。后段逻辑有夹逼味道，十分简明。 运用洛尔定理，关键在于要对各种说法的“端值相等”有敏感性。 例 47设函数 f（x）二阶可导，且函数有3个零点。试证明二阶导数 f （x）至少有一个零点。 分析“函数有两个零点”
12、，意味着两个函数值相等！它俩组成一个区间，就满足“端值相等”条件。可以应用洛尔定理得到函数的一阶导数的零点。 设函数的3个零点由小到大依次为x1，x2 ，x3 顺次取区间 x1，x2，x2，x3，分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的两个零点， 1，2，且 1 2 1，2 客观存在。它们组成区间 1，2 ，且f (x) 在此区间上端值相等。 已知二阶导数f （x）存在，即 f (x)可导。对函数 f (x) 用洛尔定理就得本题结论。 本例同时展示了“逐阶运用洛尔定理”的思路。 不要怕“点”，不要去想它有多抽象。客观存在，为我所用。只是要留心它的范围。 (画外音：怕啥子嘛，你不是学了哲学，学了辩证法吗。) 3 “垒宝塔” 游戏 如果函数n阶可导，且函数有n +1个互不相同的零点。由此可以得到什么信息？ 我们可以象上例那样，先把这n +1个零点由小到大排序编号，x1，x2 ，x3 ， ，x n ，x (n+1)再顺次组成n个区间， x1，x2，x2，x3， ，x n ，x (n+1) 分别在每个区间上对函数用洛尔定理，得到其一阶导数的n个零点，且
