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1、高等代数与解析几何间的联系数学 1403 俞城 20143055内容摘要： 在我们学习的过程中可以发现解析几何和高等代数有很多联系 的地方 可以发现高等代数和解析几何中有很多相似之处。确切的说是高等代数 中的一些理论是从解析几何中发展和改进而来的。比如说通过解析几何中多元 一次方程组的解法高等代数提出了行列式，使行列式有了几何意义，同时是行 列式直观化。也是通过行列式，多元方程组的解答更便捷、快速。又比如说欧 式空间的提出。我们都知道几何空间中的向量以及他的一些性质。在高等代数 中先后提出来线性空间、欧式空间。线性空间将向量做了推广，使向量抽象化。 欧式空间在线性空间的基础上提出内积，使几何空
2、间中的向量的一些度量性质 推广化，等等，这样的例子很多很多。总体来说高等代数与解析几何是相互联 系、相互促进的。可以更确切一点的说是解析几何是高等代数的基石，而高等 代数是解析几何的推广和并使之抽象化关键词：行列式、正交变换、向量、线性方程组、二次型和二次曲线、二次曲 面、欧式空间导言：从代数与几何的发展来看，高等代数与解析几何从来就是相互联系、相互促进的。它 们的关系可以归纳为“代数为几何提供研究方法，几何为代数提供直观背景”。通过对高等代 数和解析几何的学习和研究中，我们可以看到解析几何和高等代数中有着紧密的联系。运用 解析几何来分析高等代数更直观，同时，高等代数也是解析几何的一个发展、拓
3、宽。比如说 欧式空间。运用高等代数的解题方法来解答解析几何中的一些问题更加简便，快捷。比如说 运用行列式的计算来解答多元方程组问题。内容： 解析几何中以代数为工具，解析几何中的很多概念、方法都是应用线性代数的知识 来定义来刻画、描述和表达的。例如，解析几何中的向量的共线、共面的充分必要条件就是 用线性运算的线性相关来刻画的，最终转化为用行列式工具来表述，再如，解析几何中的向 量的外积（向量积）、混合积也是行列式工具来表示的典型事例。高等代数中的许多知识点 的引入、叙述和刻画亦用到解析几何的概念或定义。例如线性空间的概念表述就是以解析几 何的二维、三维几何空间为实例模型。从概念的内涵的外延来看，
4、两门课之间存在着特殊与 一般的关系，解析几何的一、二、三维空间是线性代数n维空间的特例，而线性空间的大量 理论又是来源于一、二、三维几何空间的推广1关于正交变换的几何意义在二次型化为标准型时,可以采用可逆变换或正交变换,但是由于可逆变换对应于仿射坐 标系的变换,正交变换则对应于直角坐标系的变换,所以区别比较大。例如: 通过可逆线性变 换化成,即椭球面变成了球面。通过线性变换,化成,即椭球面变成了圆柱面。而正交变换保持 向量长度和角度不变,因此几何图形不变。所以在讨论二次方程决定的图形时,必须用正交变 换;如果只考虑它所属类型时，可以用可逆变换（当然包括正交变换）。还应注意正交变换中: 当正交阵
5、的行列式表示为1时,是旋转变换;!正交阵的行列式为-1时，为镜面反射变换。 关于正交化的几何解释 线性无关的向量组可以由正交化得到与其等价的正交组,它的几何解释为,如果有3 个线性无 关的向量则可以通过正交化得到三个相应的正交向量2为a2在B1上的投影向量;y3为a3 在B1、B2所确定的平面上的垂直投影向量。2.向量组线性相关(无关)与几何中向量共面、共线之间的关系若a,p,Y是三维空间的向量贝i：a线性相关;a,p线性相关;a0Y线性相关分别对 应于几何直观的a为零向量;a,B共线Q0Y共面。因此，一维空间的基是空间中任意 一个非零向量;二维空间的基是空间中两个不共线向量;三维空间的基是空
6、间中 3 个不共面的向量组成的。例1 在三维空间中有向量,0A =(a,b,c,),OB =(d,e,f),OC =(x,y,z),那么,A,B,C共线的充分必要条件是什么？解:过A,B两点的直 线方程为,显然,当且仅当C点满足此方程时,A,B,C共线,即存在t,使得0C =(1-t)0A +tOB，于是,A,B,C共线，当且仅当OA ,0B ,0C中某一向量可以由其余 向量线性表示,而且表出系数之和为 1。 (三)线性方程组与直线、平面的位置关系 空间直线、平面的位置关系为线性方程组的结构理论提供了直观的几何解释 ,同 样线性代数中的线性方程组的结构理论对深刻领会直线、平面的位置关系起到重
7、要作用。例 2 已知平面上有三条不同的直线，它们的直线方程分别为 ,试证这 3条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=O。证明:必要性，设3条直线11, 12, 13 相交于一点，则线性方程组有唯一解，故系数矩阵A=与增广矩阵的秩均为2秩(A) =2秩(A)=秩(A)=2但是(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2M0,.a+b+c=0充分性，由a+b+c=O,则从必要性的证明 可知：1=0,故:秩(A)= 3。由于，故：,于是，。因此线性方程组有唯一解，即,3条直线 11, 12, 13相交于一点。3 高等代数中解析几何的几种应用或原理1.二次型与二次曲面的联系 在解析几何中，我们看到，当
8、坐标原点与中心重合时，一个有心二次曲线的一般 方程是 a+2bxy+c=f （1） 为了便于研究这个二次曲线的几何性质，我们可以选择适当的角度作转轴（反时针方向转轴）x=cosO-sinO;y=sinO+cosO 把方程（1）化为标准方程。在二次曲面的研究中也有类似情况。从代数角度看， 所谓化标准方程就是用变量的线性代换（2）化简一个二次其次多项式，使它只 含有平方项。二次型就是在这个基础上提出来的。就譬如说二次曲面吧。研究二 次曲面的形状,可以利用矩阵运算,把方程写为其中这里, i,j=1,2,3 由于正交变换对应坐标原点不动的坐标轴的变换,因此,方程中的常数项不变。于 是就可据此用解析几何
9、讨论图形的形状。二次型化为标准形可以利用解析几何中 二次曲线，二次曲面来直观表示；同时，一些二次曲面，二次曲线的化为标准方 程的化简可以运用高等代数中的二次型化为标准形的方法来简化，例如配方法、 初等变换以及正交变换。例如.化简二次曲面 2xy+2xz-6yz=0 可利用二次型中的 初等变换，配方法或正交变换来化简。比如初等变换 f（x,y,z）= 2xy+2xz-6yzA= 则由=故原二次曲面可经过坐标变换化简为 2-2+6=0.利用正交变换也可以。3. 欧 式空间的几何理论在线性空间中，向量之间的基本运算只有加法和数乘，统称为 线性运算。如果我们以几何空间中的向量作为线性空间理论的一个具体
10、模型，那 么就会发现向量的度量性质，如长度、夹角等。在解析几何中我们看到，向量的 长度、夹角等度量性质都可以通 而且向量的内积有明显的代数性质。在这种情况下，欧几里得空间（即欧式空间） 应运而生。结论：高等代数与解析几何密不可分。二者是相互联系、相互促进的。参考文献【1】王萼芳，石生明修订高等代数M（第三版）北京：高等教育出版 社,2003:9【2】谢琳，张静修订从几何直观理解行列式与Cramer法则高等数 学研究， 2009.01-15【3】滕树军修订.线性代数的几何化与应用化教学探讨.河北工业大学 成人教育学院学报， 2008.9-13【 4】邹建成，李国富修订.线性代数教学中的几何方法.北方工业大学 学报， 1998.05-15【5】韩瑞珠修订.线性代数和空间解析几何教学中的一点体会.大学数 学， 2002.12-30
