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1、三角形经典考点专题点评 三角形在平面图形中是最简单也是最基本的图形，一切多边形都可以分成若干个三角形，三角形在我们生活中无处不在从本专题开始，中学对几何的学习就正式开始了7年级对三角形的学习主要包含等腰（边）三角形与三角形的全等当然，我们也引入了一些直角三角形的知识点作为扩展内容三角形的学习除了最基础的点（特殊点）、线（角度）、面（面积）以外，还要学习图形的平移、旋转和翻折，当然也需要掌握一些图形的构建方法因此，学习好三角形能大幅提高我们对于基本图形的判断、复杂图形的分解与转化能力，以及辅助线的添加意识 本专题的编排顺序是由二次全等、中线倍长的证明引出，接着通过截长补短以及平移、旋转和翻折等其
2、他常用方法和技巧来加深学生对三角形学习的理解经典拉分题思维点评题1如图71所示，已知A90，ABAC，M是AC的中点，ADBM交BC于点D，交BM于点E求证：AMBDMC满分证明(1)如图72所示，作BAC的平分线AG交BM于点G (2)由条件ABAC、BAGACD45、ABGCAD，可证得BGAADC，从而得到AGCD (3)由条件AGCD、AMCM，MAGMCD45，可证得AMGCMD(4)因此AMBDMC技巧贴士本题要求证的是两个角相等，一般采用证明两角所在的两个三角形全等的方法从图中观察到AMB与DMC所在的两个三角形AME与CMD显然不全等，但是这两个三角形中有其他相等元素：AMCM
3、结合本条件，加上结论，全等三角形条件有两个，因此我们想到通过添加辅助线，构造两个全等三角形AMG、CMD，从而得到AMBDMC题2如图73所示，已知在ABC中，ABAC，延长AB至D使BDAB，E为AB中点求证：CD2EC满分证明(1)如图74所示，延长CE至F使CEEF，再连接BF (2)易证ACEBFE，从而可得ACBF、CAEFBE (3)由CBDCAEACB、CBFFBEABC，可得CBDCBF (4)由条件BDABACBF，BCBC，易证CBFCBD(5)因此CDCF2EC技巧贴士本题还可用三角形中位线定理解答（三角形中位线是指连接三角形两边中点的线段，即三角形的中位线平行于第三边并
4、且等于它的一半）取AC的中点G，连接EG、BG，由ABAC，E、G分别为AB、AC中点，得出BECG，从而BECCGB故CEBG由中位线定理可知BGCD，所以CECD题3如图75所示，已知在ABC外作正方形ABDE和ACGF，M是BC的中点求证：AMEF满分解答(1)如图76所示，延长AM至N，使MNAM，连接BN (2)易证ACMNBM，从而可得ACBNBC (3)由ABCACBBAC180，可得ABCNBCBAC180，即ABNBAC180 (4)再由EAFEABBACCAF360，得到EAFBAC180，即ABNEAF (5)结合条件EAAB，BNCAAF，易证ABNEAF (6)因此E
5、FAN2AM，即AMEF来源:学|科|网技巧贴士已知条件中出现了中点以及AMEF形式，这暗示了可使用“中线倍长”的方法通过将中线AM延长一倍后，证明ANEF，找到AN、EF所在的ABN、EAF，证明两个三角形全等即可思维点评 二次全等，就是通过两次三角形全等，解决题目中涉及的角度、线段间的关系7年级学习了全等三角形，自然全等三角形是一种手段与工具它能用于证明角、边的等量关系，因此证明边、角相等，往往就是证明边、角所在三角形全等所以，对于角、边的关系，一定要将其置于某个载体，如两个全等三角形中，此外，解决二次全等往往使用逆推的思路，在题1贴士中所构造的AMGCMD所缺少的条件是AGCD，通过BG
6、AADC来提供 中线倍长，是初中数学几何中常见的一种添加辅助线的方法若题目出现中点、中线，要求证或出现“A2B”，一般延长一倍的中线如图77所示，通过ACMBNM，从而实现“A2B”题4如图78所示，在ABC中，ABAC，BD为边AC上的高，P为线段BC边上的动点（且不与B、C两点重合），过P点分别作AB、AC边上的垂线且与AB、AC分别交于M、N两点，求证：BDPMPN满分证明来源:学_科_网Z_X_X_K(1)如图79所示，在NP的延长线上截取PEPM，连接BE (2)由条件PEPM、MPBEPB（在RtBMP与RtPNC中，由于MBPC，因此MPBNPC又BPE与NPC为对顶角，因此MP
7、BEPB)，BPBP，易证BPMBPE，从而可得BEP90 (3)因此四边形BEND为矩形，可得ENBD(4)由ENEPPN得BDPMPN技巧贴士本题是运用“补短法”，把所要求的BDPMPN中的PM“补”到PN所在的直线上，接着，只需证明四边形BEND为矩形，结合已有的两个直角，只需证明一个BEP90，从而便有证明BPMBPE(本分析思路仍为逆向思维，可见在证明几何问题中，逆向思维出现较多)当然，本题还可用“截长法”（详见本专题思维点评）和“面积法”来做，“面积法”思路如下：连接AP，由于ABC为等腰三角形，再运用SABCSABPSAPC，即可得证题5如图710所示，在等腰ABC中，ABAC，
8、顶角A100，B的平分线BE交AC于E，求证：BCAEEB满分证明(1)如图711所示，在BC上取BDBE，BFAB(2)由条件ABBF、BEBE、ABEEBC20，易证ABEFBE(3)因此BFE100故BEF60，EFD80 (4)又由于BDBE，可得BEDBDE80，FEDBEDBEF20，故EFDEDF，EFED (5)由于DEC180BEABED40C，所以EDCD，即CDEFAE (6)由BCBDCD，BDEB，得BCAEEB技巧贴士本题运用“截长法”，把最长的BC截取题中所要求的其中一段，如BDBE至于BFAB的出现则在于从B的角平分线得到启示，看到角平分线，往往意味着三角形翻折
9、，ABFFBE也可认为两三角形翻折（相等会为全等提供可能性），并且出现等腰三角形往往还意味着存在等量代换题6如图712所示，在正方形ABCD中，点E在DC的延长线上，点F在CB的延长线上，EAF45，求证：DEBFEF来源:Z。xx。k.Com满分证明(1)如图713所示，在DC上截取DG，使得DGBF，连接AG (2)由四边形ABCD是正方形，可得ADGABF90，ADAB (3)又由于DGBF，可得ADGABF，故GADFAB，AGAF来源:学,科,网Z,X,X,K (4)DAB90DAGGABBAFGABGAF，即GAEGAFEAF45，GAEFAE45 (5)又因为AGAF、AEAE，
10、故EAGEAF，即得EFEGEDGDDEBF技巧贴士本题运用“截长法”，在DC上截取DGBF，可得ADGABF而在有正方形的题目中看到EAF，即使EAF45，也要反应出存在一对含该角度EAF的全等三角形，即题中的EAGEAF思维点评 一般问题中出现“ABC”，且B、C不在同一直线上的形式，就可以考虑“截长补短”，即把不同的线段通过辅助线联系起来，最终得到所要求的等量关系事实上，“截长补短”意味着两种方法：一是“截长”（在A上截取B或C），二是“补短”（在B上延长C得A或在C上延长B得A）这两种方法在三角形中基本上是互补的，截长补短不适用的情况主要在圆中才有体现（详见9年级与“圆”相关的专题）
11、还有以下几点在证明三角形全等中需要特别注意 (1)三角形中，大量存在“等量代换”的技巧，即使没有告诉我们“AB” (2)即使只告诉一般的三角形，通过辅助线，通过角、边的关系，中间往往会存在大量等腰三角形、等边三角形（这里隐含了“一般与特殊”的思想方法，通常联系等腰三角形、等边三角形，一般三角形的情况比较少） (3)相等会为全等提供可能性：只要出现“AB”，A和B都属于某个三角形，通过各种方式证明A和B所在的两个三角形全等就可以解决部分问题 再对题4的“截长法”做如下简述：在BD上截取线段BF，使BFPM，可证得BPFPBM，从而得到BFPM，PFBD，即可求得四边形PFDN为矩形，得到PNDF
12、，即可得证题7如图714所示，在ABC中，ACB90，BCAC，D、E为AB上两点，且DCE45，求证：AD2BE2DE2满分证明(1)如图715所示，将ADC绕C旋转到如图位置，则CADCBF (2)由AABC45，可得EBFABCCBFABCA90，故BEF为直角三角形，且BFAD (3)又因ACDECB45，且ACDFCB，故ECBFCBFCE45DCE (4)由DCCF，CECE，可得CDECFE，DEFE，即BE2AD2DE2技巧贴士勾股定理及其逆定理：在ABC中，C90a2b2c2（a、b为直角边，c为斜边）根据本题结论，通过等量代换，要将AD、BE、DE置于一个直角三角形中先由B
13、CAC这一信息，想到若将ADC进行旋转，即可得到两对全等的三角形，同时也构建出了一个直角三角形，从而通过三角形的全等，可将所求边转化到同一直角三角形中，从而得到结论题8如图716所示，P为等边ABC内一点，若AP3，PB4，PC5，求APB的度数满分解答(1)如图717所示，过B作PBP60，BPBP，连接PP、AP (2)由于么PBP60，BPBP4，可得PP4，PPB60 (3)又因PBA PCA，得PCAP5，且AP2PP2AP2，故APP90(4)即得APBPPBAPP150技巧贴士本题的考点在于3、4、5这三条边长熟悉直角三角形性质的同学不难发现，若三角形的三边长存在3：4：5的关系时，此三角形便是一个直角三角形同样常见的例子还有5：12：13等因此，只要发现这类边长中存在的特殊比例关系，我们便能通过之前所学习过的三角形“平移”、“旋转”、“翻折”的一系列变化方法，得到我们所需要的答案题9如图718所示，在四边形ABCD中，BD平分ABCDPBC于点P，AB
