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1、目录1刚体系统 12弹性系统动力学 63高速旋转体动力学 101 刚体系统一般力学研究的对象，是由两个或两个以上刚体通过铰链等约束联系在一起 的力学系统，为一般力学研究对象。自行车、万向支架陀螺仪通常可看成多刚体 系统。人体在某种意义上也可简化为一个多刚体系统。现代航天器、机器人、人 体和仿生学中关于动物运动规律的研究都提出了多刚体系统的一系列理论模型 作为研究对象。多刚体系统按其内部联系的拓扑结构，分为树型和非树型(包含 有闭链)；按其同外界的联系情况，则有有根和无根之别。利用图论的工具可以 一般地分析多刚体系统的构造，建立系统的数学模型和动力学方程组。也可从分 析力学中的高斯原理出发，用求
2、极值的优化算法直接求解系统的运动和铰链反力 依照多刚体系统动力学的理论和方法，广泛采用电子计算机对这些模型进行研究 对于精确地掌握这些对象的运动规律是很有价值的。1.1 自由物体的变分运动方程任意一个刚体构件i，质量为m，对质心的极转动惯量为J，设作用于ii刚体的所有外力向质心简化后得到外力矢量F和力矩n，若定义刚体连体坐ii标系xoy的原点o位于刚体质心，则可根据牛顿定理导出该刚体带质心坐 标的变分运动方程：&T m r - F + 切J - n = 0(1-1)i i i ii i i i其中，r为固定于刚体质心的连体坐标系原点o的代数矢量，*为连体坐标ii系相对于全局坐标系的转角，5r与
3、冈分别为r与*的变分。iii i定义广义坐标：q =rT,* t(1-2)i i i广义：Q = Ft ,n T(1-3)ii i及质量矩阵：M = diag (m , m , J)(1-4)ii i i体坐标系原点固定于刚体质心时用广义力表示的刚体变分运动方程：6qT (M q - Q ) = 0(1-5)i i i i1.2 束多体系统的运动方程考虑由 nb 个构件组成的机械系统，对每个构件运用式( 1 - 5 ) ，组合后可得到系统的变分运动方程为：芳 6qT M q Q 二 0(1-6)i i i ii=1若组合所有构件的广义坐标矢量、质量矩阵及广义力矢量，构造系统的广义坐标矢量、质量
4、矩阵及广义力矢量为：q =qT,qT,.,qT T(1-7)12 nbM = diag (M ,M ,., M )(1-8)12 nbQ =QT,QT,.,QT T(1-9)12 nb系统的变分运动方程则可紧凑地写为：6 qT Mq Q = 0(1-10)对于单个构件，运动方程中的广义力同时包含作用力和约束力，但在一个系统中，若只考虑理想运动副约束，根据牛顿第三定律，可知作用在 系统所有构件上的约束力总虚功为零，若将作用于系统的广义外力表示为：QA =QAT,QAT,.,QAT T(1-11)12 nb其中：QA =FAT,nAT，i = 1,2,., nb(1-12)ii则理想约束情况下的系
5、统变分运动方程为：6qT Mq Qa = 0(1-13)式中虚位移 6q 与作用在系统上的约束是一致的。系统运动学约束和驱动约束的组合如式 (1-10)，为：(q, t) = 0(1-14)对其微分得到其变分形式为： 6 q = 0(1-15)q式(1-13) 和(1-15) 组成受约束的机械系统的变分运动方程。 为导出约束机械系统变分运动方程易于应用的形式，运用拉格朗日乘子定 理对式(1-13)和(1-15) 进行处理。拉格朗日乘子定理：设矢量 b G Rn，矢量x G Rn，矩阵A e Rmxn为常数 矩阵，如果有：bTx = 0(1-16)对于所有满足式( 1-84 )的 x 条件都成立
6、。Ax = 0(1-17)则存在满足式(1-85 )的拉格朗日乘子矢量九G Rm。bTx + X t Ax = 0(1-18)其中 x 为任意的。在式(1-13)和(1-15)中，q g Rn , M e E , Qa g R , e Rmxn，运用 q拉格朗日乘子定理于式 (1-13)和(1-15)，则存在拉格朗日乘子矢量 XGRm， 对于任意的8q应满足：Mq 一 Qa t8q + Xt 8q = Mq + tX-Qa t8q = 0(1-19)qq由此得到运动方程的拉格朗日乘子形式：Mq + t X = Qa(1-20)q式(1-20)还必须满足式 (1-10)、(1-12)和(1-14
7、)表示的位置约束方程、速度约 束方程及加速度约束方程，如下：(q, t) = 0(1-21)b(q, q, t) = O (q,t)q u = 0 , u =(q, t)(1-22)qtb(q, q, q, t) = O (q, t)q n (q, q, t) = 0, n = 一( q) q 2 q (1-23)qq qqt tt以上三式其维数同式 (1-14)。式(1-20)、(1-21)、(1-22)和(1-23)组成约束机械系统的完整的运动方程。将式(1-20)与(1-23)联立表示为矩阵形式：m t qq oqQAn(1-24)式(1-24)即为多体系统动力学中最重要的动力学运动方程
8、，式 (1-24) 还必须 满足式 (1-22)和(1-23) 。它是一个微分代数方程组，不同于单纯的常微 分方程组问题，其求解关键在于避免积分过程中的违约现象，此外，还要 注意 DAE 问题的刚性问题。如果系统质量矩阵是正定的，并且约束独立，那么运动方程就有唯一 解。实际中的系统质量矩阵通常是正定的，只要保证约束是独立的，运动 方程就会有解。在实际数值迭代求解过程中，需要给定初始条件，包括位置初始条件q(t0)和速度初始条件q(t0)。此时，如果要使运动方程有解，还需要满足初 值相容条件，也就是要使位置初始条件满足位置约束方程，速度初始条件 满足速度约束方程。 对于由式 (1-24)及(1-
9、21)、(1-22)确定的系统动力学方程 初值相容条件为：(q(t ), t )二 0(1-25)00b(q(t ), q(t ),t )二(q(t ),t)q(t ) -u (q(t ),t ) = 0(1-26)000 q 000001.3 正向动力学分析、逆向动力学分析与静平衡分析对于一个确定的约束多体系统，其动力学分析不同于运动学分析，并 不需要系统约束方程的维数 m等于系统广义坐标的维数n，m n。在给定 外力的作用下，从初始的位置和速度，求解满足位置约束式 (1-22)及速度约 束式(1-23)的运动方程式 (1-24)，就可得到系统的加速度和相应的速度、位 置响应，以及代表约束反
10、力的拉格朗日乘子，这种已知外力求运动及约束 反力的动力学分析，称为正向动力学分析。如果约束多体系统约束方程的维数m与系统广义坐标的维数n相等，m = n，也就是对系统施加与系统自由度相等的驱动约束，那么该系统在运 动学上就被完全确定，由 2.2.3 节的约束方程、速度方程和加速度方程可求 解系统运动。在此情况下，雅可比矩阵是非奇异方阵，即：(q, t)丰 0(1-27)q展开式 (1-24) 的运动方程，为：Mq + t 九=Qa(1-28)q q =n(1-29)q由式(1-29)可解得q，再由式(1-28)可求得九，拉格朗日乘子九就唯一地确定 了作用在系统上的约束力和力矩(主要存在于运动副
11、中) 。这种由确定的运 动求系统约束反力的动力学分析就是逆向动力学分析。如果一个系统在外力作用下保持静止状态，也就是说，如果：q = q = 0(1-30)那么，就说该系统处于平衡状态。将式 (1-30)代入运动方程式 (1-20)，得到 平衡方程： t 九=Qa(1-31)q由平衡方程式(1-21)及约束方程式(1-13)可求出状态q和拉格朗日乘子 九。这种求系统的平衡状态及在平衡状态下的约束反力的动力学分析称为 (静)平衡分析。1.4 约束反力对于约束机械系统中的构件i，设其与系统中某构件j存在运动学约束 或驱动约束，约束编号为k。除连体坐标系xVy外，再在构件i上以某点P 为原点建立一个
12、新的固定于构件上的坐标系 xffpy，称为运动副坐标系，设 从坐标系xffPy到坐标系x oy的变换矩阵为C，从坐标系x oy到坐标系ixoy的变换矩阵为A，则可导出由约束k产生的反作用力和力矩分别为：iFk =-CtAt kT 九 k(1-32)ii i riT k = (s ptBt kT kT )x k(1-33)iii r4-以上两式中，九k为约束k对应的拉格朗日乘子，反作用力 Fk和力矩Tk均ii 为运动副坐标系 x Py 中的量。2 弹性系统动力学由于工业机器人、机械手、弹性联动装置、带柔性附件人造卫星、直升飞机 的旋翼等工程结构发展的需求， 使运动中的弹性结构的动力学分析得到了很
13、大 的进展。运动弹性体的动力学分析属于多体系统动力学的范畴。而导出其有限元 格式的动力学方程并研究其数值解法则是计算多体系统动力学的任务。由于弹性 变形与刚体运动的耦合导致了运动弹性体的动力学方程为时变的或非线性的，因 此运动中的弹性体会出现诸多非线性效应。运动中弹性体的动力分析问题可分为两类 , 其一是具有给定刚体运动的弹 性体的动力分析，这类问题仅讨论弹性体的刚体运动对其弹性变形的影响，比如 机械手的弹性终端杆的振动分析一般可归于此类。第二类问题是多体系统中之刚 体运动与其中的弹性体的弹性变形的相互耦合的动力分析, 在这类问题中, 弹性 体的变形会受到系统刚体运动的影响， 反之弹性体的变形
14、也会影响系统的刚体 运动。下面采用运动参考系方法并用 Jourdain 动力学普遍方程导出了具有空间一 般运动的弹性体之通用的有限元动力学方程，其最大的优点在于推导简单并适用 于各类结构及各种单元形式。对系统的动力学方程的数值求解, 一般可以采用直 接积分法。下面给出了对时变的运动弹性的动力学方程的 Neumann 级数 2 直接图 2-1动与弹性变形:静系 ox1 x 2 x 3 ，简记O系；原点在B上的o点，固连于B上的动图 2-1 所示为一运动的弹性体 B ，选用两个坐标系来定义弹性体 B 的刚体运系一oxi x 2 x 3 ,简记为o系。B的刚体移动由o点对于o点的矢量r ,定义B的 1 o1 o1 o111o1空间转动则用o系对o系的转动来定义，而B内任意点P的弹性变形则用在o系 ii内的弹性变形位移矢量u来表示。由图可见B发生弹性变形后，其上任意一点P对o系的位置矢量可以表示 为:FFI2-i)r = r + rpoiu2-2)其中r是B未产生弹性变形时P点在o系中的位置矢量，U则表示P点的弹性变 i形位移矢量。把(2-2)式代入(2-1)式并向o系投影，且采用矩阵形式表示为：p o12-3)其中io 和C妇别表示po1的方向余弦矩阵。把(3-3)式中to的用有限元的格式，表达为: 仁丄In山oo1 -表示 o系向o系转移12-4)
