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1、数学分析I第15讲教案第15讲 泰勒公式授课题目泰勒公式教学内容1. 带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式；2. 带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的麦克劳林公式；3. 六个常见函数的麦克劳林公式；泰勒公式的应用.教学目的和要求通过本次课的教学，使学生能较好地了解带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式和麦克劳林公式，熟记六个常见函数的麦克劳林公式，会应用泰勒公式计算某些 型极限和函数的近似值教学重点及难点教学重点：佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式，六个常见函数的麦克劳林公式；教学难点：佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式.教学方法及教材处理提示(1) 从函数的多项式
2、逼近的角度，引入函数的泰勒多项式概念，进而引出带佩亚诺余项本的泰勒公式、麦克劳林公式(2) 以例题的形式讲授六个常见函数的麦克劳林公式，并要求学生熟记这六个式子.可以采用老师一边讲，学生一边练的互动方式进行授课.(3) 泰勒公式的应用十分广泛，本讲只应用泰勒公式来讨论极限问题和函数的近似计算问题.(4) 本节的难点是掌握带佩亚诺余项和带拉格朗日余项的泰勒公式、麦克劳林公式的证明对较好学生可要求掌握证明的方法作业布置作业内容：教材 :1（2，3），2（1），3（1，2），5（1）.讲授内容 一 、带有佩亚诺型余项的泰勒公式 由微分概念知：在点可导，则有 即在点附近，用一次多项式逼近函数时，其误差
3、为()的高阶无穷小量然而在很多场合，取一次多项式逼近是不够的，往往需要用二次或高于二次的多项式去逼近，并要求误差为，其中为多项式的次数为此，我们考察任一次多项式 (1)逐次求它在点处的各阶导数，得到 ，即 由此可见，多项式的各项系数由其在点的各阶导数值所唯一确定 对于一般函数，设它在点存在直到阶的导数由这些导数构造一个次多项式 （2）称为函数在点处的泰勒(Taylor)多项式，的各项系数1，2，)称为泰勒系数由上面对多项式系数的讨论，易知与其泰勒多项式在点有相同的函数值和相同的直至阶导数值，即 （3）下面将要证明，即以(2)式所示的泰勒多项式逼近时，其误差为关于的高阶无穷小量 定理68 若函数
4、在点存在直至阶导数，则有 （4）证：设 (现在只要证 由关系式(3)可知，并易知因为存在，所以在点的某邻域U()内存在1阶导函数于是，当且时，允许接连使用洛必达法则1次，得到 定理所证的(4)式称为函数在点处的泰勒公式，称为泰勒公式的余项，形如的余项称为佩亚诺(Peano)型余项所以(4)式又称为带有佩亚诺型余项的泰勒公式注1 若在点附近满足 （5） 注2 满足(5)式要求(即带有佩亚诺型误差)的n次逼近多项式是唯一的 以后用得较多的是泰勒公式(4)在时的特殊形式： （6）它也称为(带有佩亚诺余项的)麦克劳林(Maclaurin)公式例1 验证下列函数的麦克劳林公式： (2) (4) ； (6
5、) 证：这里只验证其中两个公式，其余请读者自行证明(2) 设，由于，因此代人公式(6)，便得到的麦克劳林公式由于这里有，因此公式中的余项可以写作，也可以写作)关于公式3)中的余项可作同样说明设因此代人公式(6)，便得的麦克劳林公式 例2 写出的麦克劳林公式，并求与解：用替换公式1)中的，便得根据定理68注2，知道上式即为所求的麦克劳林公式 由泰勒公式系数的定义，在上述的麦克劳林公式中，与的系数分别为由此得到例3 求在处的泰勒公式解：由于因此例 4 求极限. 解：本题可用洛必达法则求解(较繁琐)，在这里可应用泰勒公式求解考虑到极限式的分母为，我们用麦克劳林公式表示极限的分子(取，并利用例2)：因
6、而求得二 、带有拉格朗日型余项的泰勒公式上面我们从微分近似出发，推广得到用次多项式逼近函数的泰勒公式（4）。它的佩亚诺型余项只是定性地告诉我们：当时，逼近误差是较高阶的无穷小量。现在我们将泰勒公式构造一个定量形式的余项，以便于对逼近误差进行具体的计算或估计。定理 6.9 （泰勒定理）若函数在上存在直至阶的连续导函数，在内存在阶导函数，则对任意给定的，至少存在一点，使得 证：作辅助函数所要证明的(7)式即为或.不妨设,则与在上连续,在内可导,且又因，所以由柯西中值定理证得其中.它的余项为称为拉格朗日型余项所以称为带有拉格朗日型余项的泰勒公式。当时，得到也称为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式例5 把例1中六个麦克劳林公式改写为带有拉格朗日型余项的形式解：(1)，由，得到 (2) 由得到(3)类似于，可得(4)得到。(5) ，由，得到 (6) 由 三、在近似计算上的应用 例6 计算e的值，使其误差不超过.解：由例5公式(1)，当时有 故，当时，便有.从而略去而求得e的近似值为2
