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1、高考数学应用题的解题对策高考大餐中，应用题成为必备的一道菜已有20年的历史。但是，这对于学生并非美味佳肴，每次的实测结果均让我们失望。上学期末质检理科应用题检测结果是：得分0分1分2分3分4分5分6分7分人数337091549539742960403671266得分8分9分10分11分12分13分14分人数5361577273664894047平均分：4.6 ；得分0-1分达4285人，占52.5%；绝对是意料之外的结果。其实，2000年以后的高考应用题已经不是考生可望而不可及的问题。课程标准中提出：高中数学课程应力求使学生体验数学在解决实际问题中的作用、数学与日常生活及其他学科的联系，促进学
2、生逐渐形成和发展数学应用意识，提高实践能力。近几年我省的考试说明明确指出：应用性问题考查的重点是客观事物的数学化，这个过程主要是依据现实的生活背景，提炼相关的数量关系，构造数学模型，将现实问题转化为数学问题，并加以解决。命题坚持“贴近生活，背景公平，控制难度”的原则，让应用题的难度更加符合考生水平。按照这个标准，我们认为：现阶段学生解答应用题的这个现状是可以改变的。仔细分析，他们做不好应用题原因有三：1、 原有的心理定势造成心理惧怕；2、 学生考试时急于求成，缺乏理性分析问题的习惯，想一口气达成目标的功利心理所致；3、 是部分学生确实是数据处理和模型建构能力(最主要是程序性过程)不足。针对以上
3、情况，我们的思考是：怎么通过我们的努力，尽量使这一道高考菜肴让学生觉得可口，使他们在原有基础上有所突破。以下先研读一下两个问题：冰 O化 区 域融 已 川 B(4,0)P3(8,6)图6A(-4,0)xyx=2问题一：(2010年高考湖南卷理科19) 为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）在直线的右侧，考察范围为到点B的距离不超过km的区域；在直线的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过km的区域（）求考察区域边界曲线的方程；（）如图6所示，设线段
4、、是冰川的部分边界线（不考虑其他边界），当冰川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间问题二：某电镀厂已受到环保监测部门的警告,如果再不治理环境污染,将从明年1月份起进行罚款,第一个月罚款3千元,以后逐月加罚2千元,在这种情况下,明年生产总收入y(元,按月累计)是生产时间n(以月为单位)的一次函数,且生产一个月收入为7万元如果现在投资93万元治理污染,治污系统可以在明年1月1日启用,在这种情况下,明年不会受到环保部门的罚款,而且生产收入逐月增长,生产总收入p(元,按月累计)是生产时间n(月
5、)的二次函数,生产一个月收入为10.1万元,生产两个月收入为20.4万元,试问:治污系统启用多少个月投资开始见效?(即治污后的生产总收入p与治污投资额的差不小于不治污情况下的生产总收入y与罚款累计金额的差) 这两个题目篇幅长，信息容量大，干扰因素多，读题目时,有的学生“看”不下去,有的学生读了后段忘了前段，是导致意志力薄弱的学生解决问题困难的关键因素以下拟就这两个题目的解决，探讨对后阶段复习有益的应用题解决策略，让学生学会从阅读问题开始，能够准确抓住核心语句，并力求通过常见类型应用题的分析，提升学生解决应用题的能力。一、强化阅读训练，让学生突破实际问题数学化的障碍1、在问题阅读中，学会除去问题
6、背景的干扰应用题提供给考生的是一个（或一类）可将其数学化的实际问题，也就是此问题是可以运用数学的观点、思想、概念和方法，组织并感知的实际问题。为此，问题解决的关键所在是，在阅读的过程中，首先要能够剔除问题与数学模式无关的背景干扰，提取数学化过程中有利的数据、信息。以问题1为例，题目中的“为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）”这段文字在将其“图示”后，应该是可以剔除的“废话”了，在问题的后续处理中应不再有任何作用。2、合理的信息分解与组合，理清数量关系通
7、过对题目的阅读之后，合理地对问题进行分解、组合，对问题解决有决定性的影响。如前面的问题2，阅读后，若将原题分解成: (1)若该厂不治污,则明年生产的总收入y(元,按月累计)与生产时间n(以月为单位)的关系式是什么? (2)从明年1月起,n个月的罚款累计是多少? (3)若该厂治污系统启用后,生产总收入p(元,按月累计)与生产时间n(以月为单位)的关系式又怎样?(4)治污系统启用多少个月,投资开始见成效? 显然，分解后的每个问题，条件与需求清楚,而且前面问题为后面问题起到一定的铺垫作用,但解决问题的难度与原来有显著性差异，问题的解决将不再困难。3、目标达成中模型的选择与数据的分析处理阅读问题时，具
8、有明确的目标意识，及时准确抓住核心语句，合理地对时局进行分析处理，适时将实际问题转译成数学模型，是问题目标达成的重要环节。例如上述问题1中，问题（1）的目标是，通过与所求区域有关的核心语句为“到点B的距离不超过km”及“到A，B两点的距离之和不超过km”，结合曲线的定义不难发现：到点B的距离不超过km为以B为圆心为半径的圆内部，到A，B两点的距离之和不超过km为以A、B为焦点的椭圆内部。而问题（2），结合右图不难发现即求与、到区域的最小距离。于是，在得到区域边界曲线（如图）的方程为之后，通过与过点，的直线为，点，的直线为平行而与区域边界有交点的直线的确定，即可解决问题。4、问题的辩证思维与解答
9、检验实际问题转化为数学模型来解决,存在着数学模型选择的水平差异,它将直接导致应用题解决困难程度因此，注重把实际问题转化为数学模型的转释能力的训练,多方位地对学生进行创新思维习惯的训练，是当前提高数学应用能力关键所在【例1】如图4，在一段直的河岸同侧有A,B两个村庄，相距5千米,它们距河岸的距离分别为3千米，6千米，现在要在河边修一抽水站并铺设输水管道，同时向两个村庄供水,如果预计修建抽水站需8.25万元(含设备购置费和人工费)，铺设输水管道每米需用24.5元(含人工费和材料费)，现由镇政府拨款30万元，问A、B两村至少还需共同自筹资金多少，才能完成此项工程(准确到100元) 图4（也许这只是一
10、个填空题）【思路分析】这是修建供水工程问题,涉及到许多方面,这里仅考虑修建抽水站和铺设户外主管道所需费用一般同学都认为这是一个代数问题,若A、B在河岸上的投影分别是E、F，抽水站建于C处。设CF=x，则A,B两村还需共同自筹资金这时，求y的最小值，技巧性强，运算繁杂；如考虑利用几何方法，将问题的关键转化为：在河边上确定点C的位置,使铺设的输水管道AC+BC最短，就不难解决本题了而能这样考虑的同学显然是少数的【例2】（2002年全国高考数学理科卷试题）某城市2001年末汽车保有量为30万辆，预计此后每年报废上一年末汽车保有量的6%，并且每年新增汽车数量相同，为保护城市环境，要求该城市汽车保有量不
11、超过60万辆，那么每年新增汽车数量不应超过多少辆？【思路分析】设每年新增汽车的数量为x万辆，那么关于x至少可以建立两种不同的数学模型：模型1：对任意满足0a60的任意实数a，都有 (1-0.06)a+x60模型2：定义数列，=30，=x+(1-0.06)，其中n=1,2,。要求对任意自然数n，都有60通过这两个模型的求解都是不等式模型，但建立模型时所采用的数学思想和方法却有明显差别。模型1用的是函数的概念与思想，所建立的是连续性模型；模型2用的是数列的概念与思想，所建立的是离散模型。其次，从观察思考问题的思维特点与问题的转化“翻译”技能的角度看，两者也有着明显差别，模型1是对问题作了较深层次的
12、思考，抓住了相邻两年年末汽车保有量的函数关系，以及每年年末汽车保有量不超过60万辆的限制这两个基本点，采用准确“意译”的方法建立模型；而模型2是依问题本源的提法，关注逐年年末汽车保有量的变化规律及其限制条件，采用逐句“直译”的方法建立模型，再次，两个模型在形态上和求解方面，其表现也不同，模型1显得简洁，求解快捷，模型2显得曲折，求解较为繁杂，简解如下：模型1：移项，将式化为x60-(1-0.06)a，右端可看做a的一次函数，在区间(0.60上有最小值0.0660=3.6。所以不等式对任意a(0.60都成立的充要条件为x3.6。因此，答案是：每年新增汽车数量不应超过3.6万辆。模型2：=30，=
13、x+(1-0.06)，n=1,2,-=(1-0.06)( -)=(-)= (-)= (x-1.8)，同时，又有-=x-0.06，0.06=x- (x-1.8)，因此，式(即60)等价于x- (x-1.8)3.6，即(x-1.8)(1-)1.8。利用数列的递减和极限理论，可得对任意自然数n都成立的充要条件是x-1.81.8，即x3.6。两个模型解得相同的结论，模型2的求解较之模型1较为繁难，且按照现课标要求，学生的解答难度是很大的。可以看做是建模时思考欠深的一种补偿。上述思辨性分析，会对学生的思维有较大的触动，让他们增强数学模型选择的意识。同时也提醒了他们：入手解题时，宜多一点思考，不会没有好处
14、；要是懒得多想，后续的求解，往往免不了要付出更高的成本。当然，这需要常见应用题类型有较充裕的储备。二、几类常见应用题的解题策略1.代数型应用题（1）函数型应用题：就是通过实际问题的数学化（即将文字语言向数学的符号语言或图形语言转化），建立等量关系（较为复杂的数量关系可以根据事物的类别、时间的先后、问题中给出的已知量、未知量、常量的归类，或画出图表），使复杂的数量关系清晰化，以构建函数的数学模型，在题目给定的实际定义域内求解。并且检验、比较所求是否符合实际意义。【例3】（2007年福建高考）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为3元，并且每件产品需向总公司交a元(3a5)的管理费，预计当每件
15、产品的售价为x元(9x11)时,一年的销售量为万件(1)求分公司一年的利润L(万元)与每件产品的售价x的函数关系式；(2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年利润L最大，并求出L的最大值Q(a)【分析】(1)根据利润L每件的利润(x3a)销售量有L(x3a)，x9,11(2)借助导数求Q(a) 【提醒】易忽略3a5的条件，仅得Q(a)4，因此审题要仔细，避免出错【变式训练】（2011湖北理17）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数（）当时，求函数的表达式;（）当车流密度为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位：辆/每小时）可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆/小时
