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1、元二次方程重难点一元二次方程重难点知识导航一一元二次方程的定义二有关一元二次方程根的观察（根与系数的关系及双方程公共根问题）三一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）四含绝对值的一元二次方程五根的鉴别式及韦达定理根与系数的关系对方程根的个数的鉴别利用鉴别式解参数取值范围含参变量的一元二次方程经过鉴别式，证明方程根的个数问题利用韦达定理求代数式的值（x1x2,x1x2,x1x2,11,x12x22等）x1x2利用韦达定理求参数的值五一元二次方程整数根问题六一元二次方程的应用基础学习一一元二次方程的定义定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程
2、对于一元二次方程的定义观察点有三个：二次项系数不为0；最高次数为2；整式方程一般形式：ax2bxc0(a0)，a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项二有关一元二次方程根的观察（根与系数的关系及双方程公共根问题）对于一元二次方程根的观察就是需要将根代入方程获取一个等式，而后再观察恒等变换。（将根代入方程，这是好多同学都简单忽视的一个条件）1. 与根有关的代数式化简求值2+3x-1=0的实数根，求代数式：x3(x25【例】已知x是一元二次方程x3x26x)的x2值1/16【巩固】先化简，再求值：(2a241)a22，其中a是方程x2+3x+1=0的根a4a42a22. 公共解问题22有一个公共
3、根为1，求证：二次方程【思考】已知两个二次方程x+ax+b=0与x+cx+d=0x2acxbd0也有一个根为122【例1】一元二次方程x2-2x-50的某个根，也是一元二次方程x2-(k+2)x+944求k的值0的根，【稳固】当k为何值时，方程x2-（k+2）x+12=0和方程2x2-（3k+1）x+30=0有一公共根？求出此公共根【变式1】若两个不同的关于x的方程x2+x+a=0与x2+ax+1=0有一个共同的实数根，求a的值及这两个方程的公共实数根2/16【变式2】已知a2，b2，试判断关于x的方程x2-（a+b）x+ab=0与x2-abx+（a+b）=0有没有公共根请说明理由【拓展1】已
4、知：关于x的方程ax2+bx+c=0，bx2+cx+a=0，cx2+ax+b=0有一个相同的实数根，且 a?b?c0，求a+b+c的值【拓展2】设a，b，c为ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一个公因式，证明：ABC一定是直角三角形三一元二次方程的解法及求根公式（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法）【例1】解方程：（1）2x243x620（2）（3x+1）（2x-5）=-2（2x-5）（3）x154（4）4x122x1x1x21x29x3x3（7）x+2x-80（2）x+x4-603/16【稳固】（1）已知关于x的方程x2-（2a+1）x+a2+a=0的两
5、个实数根中，只有一根大于5，求a的取值范围（ 2）已知x，y满足方程x4+y4+2x2y2-x2-y2-12=0，求x2+y2的值在解方程里面，一般采纳的方法是配方法，应用公式法，因式分解法，此中因式分解法中观察最多的是十字相乘法，所以在学习的时候要求对这几种方法娴熟掌握，一般来说，对于初学者而言，在解方程里面最常使用的是公式法，但在娴熟掌握根与系数的关系以后，配方法相较会简单调些。【例1】若m、n为有理数，n是无理数，m+n是有理系数方程ax2+bx+c=0（a0）的一个根，证明：m-n也是这个方程的一个根【例2】设x1、x2是方程x2-6x+a=0的两个根，以x1、x2为两边长的等腰三角形
6、只可以画出一个，试求a的取值范围x13x3【例3】当x满足条件14)1(x(x4)23时，求出方程x2-2x-4=0的根【巩固】（1）解方程：x2-x-5=02x31（2）若不等式组1整数解是关于x的方程2x-4=ax的根，求a的值x(x3)24/16四含绝对值的一元二次方程【例1】阅读例题，模拟例题解方程例：解方程x2+|x-1|-1=0解：（1）当x-10即x1时，原方程可化为：x2+（x-1）-1=0即x2+x-2=0，解得x1=1，x2=-2（x2不合题意，舍去）；（1）当x-10即x1时，原方程可化为：x2-（x-1）-1=0即x2-x=0，解得x3=0，x4=1（x4不合题意，舍去
7、）综合（1）、（2）可知原方程的根是x1=1，x2=0请模拟以上例题解方程：x2+|x+3|-9=0【巩固】解方程：（1）x211(x9)|x2-1|（2）x24x562x1010【例2】解方程：（1）x2-|x-2|-6=0（2）x2-4|x|-5=0【稳固】设方程x22x140，求知足该方程的所有根之和5/16难点打破五根的鉴别式及韦达定理1 根与系数的关系对方程根的个数的鉴别鉴别式与根的关系在实数范围内，一元二次方程ax2bxc0(a0)的根由其系数a、b、c确立，它的根的状况（是否有实数根）由b24ac确立设一元二次方程为ax2bxc0(a0)，其根的鉴别式为：b24ac则bb24ac
8、0方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实数根x1,22a方程ax2bxc0(a0)x1x2b02a有两个相等的实数根0方程ax2bxc0(a0)没有实数根【例1】（1）解方程：x2+4x-5=0；2（k-2）=0一定有两个不相等（2）求证：无论k取任意值，关于x的一元二次方程x-kx+是实数根【巩固1】已知关于x的方程x2+ax+a-2=0（ 1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（ 2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根【稳固2】已知对于x的方程(n1)x2mx10有两个相等的实数根求证：对于y的一元二次方程m2y24mym24n0必有两个相等的实数根6/1
9、6【变式】已知关于x的一元二次方程x2+2（k-1）x+k2-1=0有两个不相等的实数根（ 1）求实数k的取值范围；（ 2）0可能是方程的一个根吗？若是，请求出它的另一个根；若不是，请说明理由【巩固】已知关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个相等的实数根，试判断直线y=（2k-3）x-4k+12能否通过点A（-2，4），并说明理由利用鉴别式解参数取值范围含参变量的一元二次方程【例1】对于x的一元二次方程(12k)x22k1x10有两个不相等的实数根，求k的取值范围【变式】已知对于x的方程x22(m1)xm250有两个不相等的实数根，化简：|1m|m24m4【例2】对于x的方程a6x28x60有实数根，则整数a的最大值是【稳固】若对于x的一元二次方程(k1)x22x10有实数根，则k的最小整数值为_【例3】已知：方程mx22m2xm50没有实数根，且m5，求证：m5x22m2xm07/16有两个实数根【稳固】已知：m、n为整数，对于x的二次方程x2(7m)x3n0有两个不相等的实数解，x2(4m)xn60有两个相等的实数根，x2(m4)xn10没有实数根，求m、n的值经过鉴别式，证明方程根的个数问题【例1】对随意实数m，求证：对于x的方程(m21)x22mxm240无实数根
