《地球上两点之间的球面距离》由会员分享，可在线阅读，更多相关《地球上两点之间的球面距离（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、90-地球上两点之间的球面距离的教学设计与思考卫福山（上海市松江二中）一、教学内容分析球面距离是上海教育出版社数学（高三）第15 章简单几何体第 6 节内容，上海市 中小学课程标准对球的要求是：类比关于圆的研究，对球及有关截面的性质深入探讨； 知道球的表面积和体积的计算公式，并会用于进行有关的度量计算；知道球面距离和经 度、纬度等概念，进一步认识数学和实际的联系.在本节中，引导学生理解球面距离的概 念（这不同于一般的直线距离），原因在于球面不能展开成平面然后具体探究了如何求 同纬度不同经度、同经度不同纬度、不同经度不同纬度的地球上两点之间的距离的求法, 特别强调将其中的线面关系转化为多面体（主
2、要是特殊的棱锥）来分析，并综合使用扇 形、弧长、解三角形等数学知识.在探究球面距离的计算中培养了学生空间想象能力和探 究性学习的能力.二、教学目标设计1、知道球面距离的定义，知道地球的经度与纬度的概念，会求地球上同经度或同纬度的 两点间的球面距离.2、在解决问题的过程中，领会计算地球上两点间的球面距离的方法.3、在实际问题中，探索新知识，成功解决问题，完成愉悦体验.三、教学重难点教学重点：掌握计算地球上两点间的球面距离的方 法.教学难点：如何求地球上同纬度的两点间的球面距 离.四、教学内容安排（一）、知识准备1、联系右图及中学地理中的有关知识认识地球一 半径为6371千米的球.（理想模型）2、
3、经度、纬度等相关知识地轴:连结北南极的球的直径，称为地轴. 经线:经过北南极的半大圆，称为经线.本初子午线:它是地球上的零度经线，分别向东和 向西计量经度，称为东经和西经，从0度到180度. 经度:经线所在半平面与零度经线所在半平面所成 的二面角的度数. 参见右图. 赤道:过球心且垂直于地轴的大圆，称为赤道.赤道 的圆心就是球心.纬线:平行于赤道的小圆，称为纬线.位于赤道以北 的称为北纬， 位于赤道之南的称为南纬.纬度: 球面上某点所在球半径与赤道平面所成的角 .从 0 度到 90 度. 参见上图.3、球面距离在球面上两点之间的最短距离就是经过这两点的大圆在这两点间的劣弧的长度 这个弧长叫两点
4、的球面距离.欢迎共阅问题：为何最短距离是经过两点的大圆的劣弧？解释如下：如图所示，A、B是球面上两点，圆O是经过A、B的任一小圆（纬线圆），O是球心，设ZAOB =0,ZAOfB = a,a,9 e （0,兀）,地球半径为OA = OB = R,小圆半径为OA = OB = r,则A、B两地所在的大圆劣弧长为s = R0,小圆的劣弧长为s = ra,下面只要 12说明s -0 ay=叱（x-tanx）r,从而sin9sinI，即9怕，于即土 1,s s ,因此，在连结球面上两点的路径中，通过这两点的大 s2 2圆劣弧最短.4、一些记号2设地球球面上A地的纬度、经度分别为a,卩（弧度制为单位），
5、类似于平面直角坐标系 中点的坐标，用A（a,卩）表示A地的球面坐标，显然ae 0,兀,卩e 0,殳.2（二）、创设问题情境飞机飞行的路线称为空中交通线，简称航线飞机的航线不仅确定了飞机飞行具体方 向、起讫点和经停点，而且还根据空中交通管制的需要，规定了航线的宽度和飞行高度, 以维护空中交通秩序，保证飞行安全飞机航线的确定除了安全因素外，也取决于经济效 益和社会效益的大小，其中有一项毫无疑问是追求航线尽可能的“短”，那怎样才能做 到这一点呢？（三）、地球上两点间的距离的常见题型1、同经度不同纬度的两点间的球面距离：如图所示，设A（a ,0）,B（a ,0他1 2地球球面上同经度但不是同纬度的两点
6、（纬度分别为a ,a，规定北纬时纬度为1 2正，南纬时纬度为负，经度为0 ），则球心角ZAOB =1 a -a |，则A、B12两地的球面距离为s二R-1 a -a | （R为地球半径）.（公式12一）注：同经度不同纬度的A、B两地实质上已经在一个大圆上，只要求出 球心角（圆心角），即两地的纬度差（和）即可.2、同纬度不同经度的两点间的球面距离:如图所示，设A（a, p ）,B（a, p ）12为地球球面上同纬度但不同经度的两点（纬度为a，经度分别为P , P，12规定东经时经度为正，西经时经度为负），点A、B在赤道平面上的投影分别为C、D，则ZCOD = ZAOB =1 P-P I （若 I
7、 P -P Ig （兀,2兀），则 ZAOB = 2 兀-I P -P 丨），且12 12 1 2cos ZAOB = cos I P -P I= cos（2 兀-I P-P I）.四边形 ABDC 是矩形，AB=CD.小圆半径1 2 1 2OA = OB = R cos a，于是在AAO中，由余弦定理得AB = （R cos a ）2 + （R cos a ）2 - 2R cos aR cos a cos ZAOB = 2R cos a sin P_ 2R2在AAOB中，由余弦定理得cosZAOB2 = -2cos2a血呼,于是球心角ZAOB = arccos（1-2cos2a sin2一
8、），则A、B两地的球面距离为2（公式二）s = R - arccos（1- 2cos2 a sin2I P1 2 P2I） （R 为地球半径）.注：同纬度不同经度的A、B两地距离实质上只要考虑如右图所A示的三棱锥O - ABO，其中OA二OB = OO = R, ZOAO=ZOBO为纬度，ZAOB为两地的经度差（和）（或经度差相对周角的补角），OA = OBOOf丄面ABO O，只要能求出球心角ZAOB即可.3、（拓展）不同纬度不同经度的两点间的球面距离：如图所示, 设A（a , p ）,B（a , p ）为地球上不同纬度不同经度的两点（纬度分别11 2 2为a ,a，经度分别为P , P，规
9、定北纬时纬度为正，南纬时纬度为1 2 1 2负，东经时经度为正，西经时经度为负），点A、B在赤道平面上的 投影分别为C、D，则ZAOC = a ,/BOD = a，121212ZCOD =I P -P I （若I P -P Ig （兀,2兀），则ZCOD = 2k-I P -P I），2OA=OBR=OC , R=coOsD, aR=cos AC,Ransi=BD,Ransi,=1 2 1在ACOD中，由余弦定理得 在直角梯形ABDC中，易求 在AAOB中，由余弦定理有cos ZAOB =R 2 + R 2 一 AB 22R=sin a sin a + cos a cos a cos I P
10、- P I.1 2 1 2 1 2于是球心角为 ZAOB = arccos(sin a sin a + cos a cos a cos I P - P I)，1 2 1 2 1 2则 A、B 两地的球面距离为 s = R - arccos(sin a sin a + cos a cos a cos I P - P I).121212（ R 为地球半径） .（公式三） .注：不同纬度不同经度的A、B两地距离实质上只要考虑如右图所示的四棱锥O - ABDC，其中OA = OB = R, Z4OCZB0D为A、B的纬度,上COD为两地的经度差（和）（或经度差相对于周角的补角），AC丄面COD, BD
11、丄面COD,四边ABDC为直角梯形，只要能求出球心角ZAOB即可。而且容易验证公式一、二都满足公式三.（四）例题应用例1：已知上海的位置约为东经121。，北纬31。，台北的位置约为东经121。，北纬25。, 求两个城市之间的距离.（地球半径约为6371千米，结果精确到1千米） 分析：两地点经度相同，已保证两者已落在大圆上.解：作出如右图所示的简图，则球心角ZAOB = 31 - 25于是两个城市之间的距离为s=63711备心667 （千米）-O例2：已知北京的位置约为东经116。，北纬40。，纽约的位置约为西经74。，北纬40。，求 两个城市之间的距离.（地球半径约为6371千米，结果精确到1
12、千米） 分析：两地同纬度不同经度.01 r解：作出如右图所示的简图，A（40 ,116 ）,B（40 ,-74 ）分别表示北京与A /JOoO-纽约，则ZOAO/ = ZOBO, = 40 ,经度差ZAOB = 360 -116 -(-74) = 170，于是小圆半径为OA = OfB = Rcos40，使用公式二得两地的距离为s = 6371 x arccos（1 - 2cos 2 40 sin2 85 ）门 11062 （千米）.oo五、教学反思 本节课可以作为一节师生共同探究课.引入中,从学生学习的地理知识入门,问问学 生在地理上了解的经度、纬度的定义及其中的道理,极大激起学生的学习热情
13、.本节课中 球面距离定义中“经过两点的大圆的劣弧长最短”是难点,因为这一结论的证明需要用 到高等数学知识，即利用导数证明函数y = 沁在xe （0,-）上单调递减，这可以作为部x2 分学有余力的学生课下钻研。在求两点的球面距离中,如何在棱锥中利用边角的关系求 出球心角是解题的核心,只要学生能正确把握大圆、小圆的关系以及纬度差、经度差与欢迎共阅棱锥的角的关系，并恰当使用余弦定理，解决这类问题还是非常容易的。最后，我们可 以给出地球上两点间的球面距离的一个统一公式，即球面距离 s = R - arccos(sin a sin a + cos a cos a cos I P - P I),1 2 1 2 1 2其中A(a , P ),B(a , P )分别表示地球上A地的纬度为a，经度为p , B地的纬度为a ,1 1 2 2 1 1 2经度为 P ，(规定北纬时纬度为正，南纬时纬度为负，东经时经度为正，西经时经度为2负)， R 为地球的半径.
