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1、直线的参数方程（二）一、教学目标（一） 知识与技能进一步理解直线的标准参数方程与一般参数方程及其几何意义。掌握利用直线的参数方程解决问题的一般方法。（二） 过程与方法用学案式教学的方法，通过复习前面所学的直线的标准参数方程，引入直线的一般参数方程，并以此为基础介绍直线参数方程的简单应用，用习题来体会解题的一般方法。（三） 情感、态度与价值观加强学生现学知识与旧知识的联系，让学生积极探索，勇于攻关。二、教学重难点（一） 教学重点直线的参数方程及其几何意义。利用直线的参数方程求线段的长，求距离、求轨迹、与中点有关的问题等简单应用。（二） 教学难点 根与系数的关系等旧知识的综合应用。三、教学过程【旧
2、识回顾】通过幻灯片展示学生们做的前两个例题，回顾上节课内容。经过定点，倾斜角为的直线的参数方程为 （为参数）是一个有向长度，直线上的一个点对应唯一的一个参数，表示该点到定点的距离。当时，若，则表示该点在定点的上方； 若，则表示该点在定点的下方； 若，则表示该点与定点重合。对直线上的两个点A、B，若他们的参数分别为则两点距离 线段AB的中点的参数为【引出新课】 这节课我们继续来探究直线的参数方程。（一）直线的一般参数方程例2：化直线的参数方程（t为参数）为普通方程，并求倾斜角， 说明t的几何意义. 解：原方程组变形为 (1)代入(2)消去参数t， 得 (点斜式) 可见k=, tg=,倾斜角= 普
3、通方程为 (1)、(2)两式平方相加,得t= t是定点M0（3，1）到t对应的点M()的有向线段的长的一半.点拨：注意在例1、例2中，参数t的几何意义是不同的，直线的参数方程为即是直线方程的标准形式，(-)2+()2=1, t的几何意义是有向线段的数量.直线的参数方程为是非标准的形式，12()2=41，此时t的几何意义是有向线段的数量的一半.你会区分直线参数方程的标准形式？例3：已知直线过点M0（1，3），倾斜角为，判断方程（t为参数）和方程（t为参数）是否为直线的参数方程？如果是直线的参数方程，指出方程中的参数t是否具有标准形式中参数t的几何意义.解：由于以上两个参数方程消去参数后，均可以得
4、到直线的的普通方程 ，所以，以上两个方程都是直线的参数方程，其中 cos =, sin=，是标准形式，参数t是有向线段的数量.，而方程是非标准形式，参数t不具有上述的几何意义.点拨：直线的参数方程不唯一，对于给定的参数方程能辨别其标准形式，会利用参数t 的几何意义解决有关问题.思考：直线的参数方程能否化为标准形式？ 是可以的，只需作参数t的代换.(构造勾股数，实现标准化) 令t= 得到直线参数方程的标准形式 t的几何意义是有向线段的数量.小结 一般参数方程的标准化方法一般地，对于倾斜角为、过点M0()直线参数方程的一般式为，. （t为参数）， 斜率为(1) 当1时，则t的几何意义是有向线段的数
5、量. (2) 当1时，则t不具有上述的几何意义. 可化为 令t=则可得到标准式 t的几何意义是有向线段的数量.（二）直线参数方程的应用例4：写出经过点M0（2，3），倾斜角为的直线的标准参数方程，并且 求出直线上与点M0相距为2的点的坐标. 解：直线的标准参数方程为 即（t为参数）（1） 设直线上与已知点M0相距为2的点为M点，且M点对应的参数为t, 则| M0M|t| =2, t=2 将t的值代入(1)式 当t=2时，M点在 M0点的上方，其坐标为（2，3）； 当t=-2时，M点在 M0点的下方，其坐标为（2，3）.点拨：若使用直线的普通方程利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦， 而使用直
6、线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较 容易.例5：直线（t为参数）的倾斜角 . 解法1：消参数t,的ctg20=tg110 解法2：化为标准形式： （t为参数） 此直线的倾斜角为110例6 在直角坐标系中，一条经过点，斜率为的直线和抛物线相交于A、B两点，设线段中点为M，求点M的坐标。分析：已知直线所过定点和斜率可求其参数方程，又有点M在直线上，故只需求点M的参数就可以求得坐标。M是线段AB的中点，其参数。参考答案解：设直线的参数方程为（为参数）。直线斜率为则直线的参数方程为，代入，整理得由韦达定理有M为AB中点，则其参数将t带回直线参数方程得点M坐标为设问1、 直线经过的定点是什么？2、与表示什么意思？3、这里的t的几何意义是什么？【课时小结】这节课学习了直线的一般参数方程，要求会将一般参数方程化为标准参数方程。掌握直线参数方程的简单应用，始终要抓住参数t的几何意义，参数t在参数方程中起纽带作用，把握住参数有时候可以简化问题。【作业】 课本. 1 2 3 4
