第二章 函数的单调性教案示例一、 教学任务分析：1． 使学生正确形成增函数、减函数的概念，能判断常见函数的单调性，会求简单函 数的单调区间．2．从观察函数图象的升降，到一些具体函数值的大小比较，再到增（减）函数的定义 表述，每一阶段的活动，都是学生认识上的升华，这是本堂课最有意义的地方． 3．考察函数的单调性，可以从函数的图象、函数值的变化情况、增（减）函数的定义 等多方面进行，但是要让学生认识到这几个方面的同异点与内在联系，任一方面的 作用都不能由其它几方面代替． 函数的单调性的证明，仅由函数的图象或一些函数 值的变化加以说明是不够的，最终应根据增（减）函数的定义加以证明． 4．函数的单调性是培养学生数形结合思想的重要内容，也是研究变量的变化范围（如 函数的最值、值域）的有利工具，因此，应把这一内容的教学视为学生学习数学思 想方法的奠基性活动． 5．本课内容，可以充分发挥信息技术的力量，使信息技术在数学学习中的工具性作用 得到充分体现． 可以充分利用图形计算器与计算机强大的图形功能及数据处理能 力，和抽象符号、定义等表达方式相结合，尽可能地为学生提供“多重联系表示”， 为学生认识函数单调性提供更加生动活泼，更富有成效的学习情境．二、 教学重点：正确形成函数的单调性概念．三、 教学难点估计： 利用单调函数的定义证明或判断函数的单调性．四、 教具：学生人手一台图形计算器或计算机，教师准备投影设备一台，图形计算器与计算机各一台，图形计算器与计算机装有《几何画板》软件．五、教学过程：1．引出课题． （1）让学生用图形计算器或计算机作出函数y＝x2、y＝x3－x的图象． 图1 图2（2）观察图1与 图2的特征（可启发学生观察图象的升降情况）．（3）在学生得出两个函数的图象都具有特征：“在某些区间上升，某些区间下降”后，指出本节课的学习内容：函数的单调性．2．单调函数的“直观定义”．（1）结合学生通过图1与图2所获得的直观认识，给出单调函数的“直观定义”：在区间上，若函数的图象（从左至右看）总是上升的，则称函数在区间上是增函数，区间称为函数的增区间；在区间上，若函数的图象（从左至右看）总是下降的，则称函数在区间上是减函数，区间称为函数的减区间．（2）与学生一起完成教材上的例1，并让学生独立完成教材上的练习第1题．（3）结合图1与图2，让学生寻找函数y＝x2与函数y＝x3－x的单调区间． 学生应该能得出函数y＝x2的单调区间，但要得到函数y＝x3－x的单调区间是困难的． 由此指出研究函数的单调性，仅凭“直观性定义”是不够的． 以上的过程，学生对函数的单调性有了初步认识，又看到了进一步研究的必要性．3．让学生获得单调函数的“描述性定义”．（1）让学生在函数y＝x2的图象（图1）上任找一点，并测出其坐标．（2）利用图形计算器或计算机的“追踪”功能，让学生观察点P在函数的图象上 “按横坐标（即自变量）x增大”的方式移动时，点P的纵坐标（即函数值）y的变化规律：在区间[0，＋∞上，随着自变量x增大，函数值y也增大；在区间（－∞，0上，随着自变量x增大，函数值y减少．（3）由学生总结规律后，导出单调函数的“描述性定义”：在区间I上，若随着自变量x增大，函数值y也增大，则称函数在区间I上是增函数；在区间I上，若随着自变量x增大，函数值y减少，则称函数在区间I上是减函数．以上的过程，可让学生自己获得“自变量x增大，则函数值y也增大（减少）”这一数量变化规律，从而完成单调函数的概念用图形语言表述到用文字语言表述的“描述性定义”的过渡，但离单调函数的定义还有距离，主要是连续的数量变化关系怎样转化为任意两量的大小定性关系． 4．使学生从单调函数的“描述性定义”自然过渡到教材上的单调函数的定义． （1）让学生在区间[0，＋∞上，从0开始，每隔一个单位取一个自变量的值，然后用图形计算器或计算机算出其对应的函数值，得到下表： 图3 （2）让学生在区间[0，＋∞上，从9开始，每隔0．1个单位取一个自变量的值，然后用图形计算器或计算机算出其对应的函数值，得到下表： 图4（3）让学生在区间[0，＋∞上，从10开始，每隔10个单位取一个自变量的值，然后用图形计算器或计算机算出其对应的函数值，得到下表： 图5（4）让学生在区间[0，＋∞上，任选一个自变量的值作起点，等间隔地取一批自变量的值，然后用图形计算器或计算机算出其对应的函数值，得到一个表，如：图6（5）让学生结合单调函数的“描述性定义”，观察以上表格，然后自行表述自己发现的规律．期望学生或引导学生得出结论：四个表格都说明，任选两个自变量的值，自变量大的函数值也大．（6）将上述活动中所获得的认识用适当的数学语言表达出来，就得到增函数的定义：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是增函数．（7）让学生自行研究减函数的定义：如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说f（x）在这个区间上是减函数．5．引导学生讨论如何利用单调函数的定义，证明函数在区间[0，+∞上是增函数，并由此总结证明函数是单调函数的一般步骤：（1）在给定的区间内任取两个自变量的值x1，x2，时规定x1＜x2；（2）判定f（x1）－f（x2）的符号在给定的区间内是否不变，并由此得出f（x1）与f（x2）的大小关系；（3）得出f（x）在给定的区间上为单调函数．6．让学生利用单调函数的定义证明函数y＝x2在区间（－∞，0）上是减函数．7．教师示范完成例2，学生独立完成教材上练习第3题，并让学生相互评改． 稍后，教师选择学生练习中较典型的练习，通过投影对学生公开讲评．8．关于单调函数的定义的注意事项：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的，有些函数在整个定义域内具有单调性．例如，教材中练习第2题． （2）有些函数没有单调区间，或者它的定义域根本就不是区间．例如函数y＝5x，（x∈{1，2，3}）．（3）函数的单调区间是不能求并的，即使单调性相同的区间也如此． 例如，函数f（x）＝在区间（－∞，0，（0，＋∞上都是减函数，但不能说在集合（－∞，0∪（0，＋∞是减函数．（4） 对于闭区间上的连续函数来说，只要在开区间上单调，它在闭区间上也就单调．因此，在考虑它的单调区间时，包括不包括端点都可以．如本小节的例1，f（x）的减区间可以是[－5，－2），[1，3），也可以是[－5，－2］，[1，3］；增区间可以是[－2，1），[3，5]，也可以是[－2，1]，[3，5]．9．探求f（x）＝x3－x的单调区间． （1）利用图形计算器或计算机在函数f（x）＝x3－x的图象上找出函数单调性发生变化的点（如图7、图8所示）． 图7 图8（2）设x1＜x2，则f（x1）－（x2）＝（x－x1）－（x－x2）＝（x1－x2）（x＋x1x2＋x－1）．由于f（x）在某个区间上单调，则f（x1）－（x2）在这个区间上符号不变． 易知x1－x2＜0，故f（x）的单调区间应使x＋x1x2＋x－1恒负或恒正． 由x1，x2可以无限接近，易知x1，x2无限接近时，x＋x1x2＋x－1无限接近0． 通过计算并结合图7与图8，我们知道函数单调性发生变化的点应该是x＝－与x＝．当x1＜x2≤－或≤x1＜x2时，x＋x1x2＋x－1的符号恒正，故在区间（－∞，－与区间[，＋∞上，恒有f（x1）＜f（x2）．所以，（－∞，－与[，＋∞均为函数f（x）的增区间．当－≤x≤]时，x＋x1x2＋x－1的符号恒负，故在区间[－，]上，恒有f（x1）＞f（x2）．所以，[－，]为函数f（x）的减区间．所以，函数f（x）的增区间为（－∞，－与[，＋∞，减区间为[－，]．10．小结：本节课学习了单调函数的概念，要求同学们掌握单调函数的定义，能利用定义判定函数的单调性，并掌握以下关系：f（x）在区间I上是增函数 f（x）的图象在区间I上是上升的在区间I自变量大函数值也大；f（x）在区间I上是减函数 f（x）的图象在区间I上是下降的在区间I自变量大函数值小．11．课后作业：（1）习题2．3 第2题、第4题、第6（2）题；（2）补充题：利用图形计算器或计算机，并结合单调函数的定义，求函数f（x）＝x3－4x的单调区间．（3）阅读本节教材的例3．。