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1、第第2招应用思想方法解招应用思想方法解平行线平行线问题问题的八的八种技巧种技巧数学思想与方法是解决数学问题的核心数学思想与方法是解决数学问题的核心.只有只有掌掌握握了数学了数学思想与方法，才能正确思考数学问题，思想与方法，才能正确思考数学问题，找找到到数学问题的正确数学问题的正确解法解法.(1)平行线问题中体现的主要方法有：基本图形平行线问题中体现的主要方法有：基本图形(添加添加辅助辅助线线)法法、分离图形法、平移法、分离图形法、平移法.(2)几种重要的数学思想：方程思想、转化思想、几种重要的数学思想：方程思想、转化思想、数数形形结合结合思思 想想、分类讨论思想、建模思想、分类讨论思想、建模思
2、想.如图，已知如图，已知CDAB，试说明：，试说明：AECCA.题中缺少条件，不能直接得出结论，需要题中缺少条件，不能直接得出结论，需要 作出作出平行线，完成角的转化来解决问题平行线，完成角的转化来解决问题.解：如图，过点解：如图，过点E作作EFCD.又因为又因为CDAB，所以，所以EFCDAB，所以，所以CEFC180，AEFA180(两直线两直线平行，平行，同同旁旁内角互补内角互补)，所以，所以CEF180C，AEF180A，所以，所以AECAEFCEF(180A)(180C)180A180CCA.1 基本基本图形图形(添加辅助线添加辅助线)法法1.如图，这是一根断裂的木条，爱好数学的小明
3、如图，这是一根断裂的木条，爱好数学的小明用用量角器量角器量量得得B120，C110，D130，于是于是小明得出木条小明得出木条的对边的对边ABED，小明的判断，小明的判断对对吗吗？为什么？为什么？【解】小明的判断是对的小明的判断是对的.理由如下：如图，过点理由如下：如图，过点C作作CMAB，所以，所以BBCM180.因为因为B120，所以，所以BCM60.因为因为BCD110，所以所以DCMBCDBCM50.因为因为D130，所以，所以DDCM180，所以所以CMED.又因为又因为CMAB，所以，所以ABED.2 分离分离图形法图形法2.若平行线若平行线EF、MN与相交线与相交线AB、CD相交
4、成如图相交成如图所所示示的图形，的图形，则共得出同旁内角多少对？则共得出同旁内角多少对？【解】如图，将给出的图形分离为如图，将给出的图形分离为8个个“三线三线八八角角”的基本图形，由每个基本图形都有的基本图形，由每个基本图形都有2对对同旁同旁内内角角，知共有，知共有16对同旁内角对同旁内角.3.动手操作：动手操作：(1)如图如图，在，在55的网格中，每个小正方形的的网格中，每个小正方形的边边长长为为1，将将线段线段AB向右平移，得到线段向右平移，得到线段AB，连接连接AA，BB.线段线段AB平移的距离是平移的距离是 ；3 3 平移平移法法 四边形四边形ABBA的面积是的面积是 ；6(2)如图如
5、图，在，在55的网格中，将的网格中，将ABC向右平移向右平移3个单位个单位 长度长度得到得到ABC.画出平移后的画出平移后的ABC；【解】如如图所示，图所示，ABC即为所求作即为所求作.连接连接AA，BB，多边形，多边形ACBBCA的的面积面积是是 ；【点拨】如图，易得如图，易得BB3，AB2，所以，所以多边形多边形ACBBCA的面积的面积SACB(S四边形四边形ABBASBCA)S四边形四边形ABBA326.6(3)拓展延伸：如图拓展延伸：如图，在一块长为，在一块长为a米，宽为米，宽为b米米的的长方形长方形 草坪草坪上，修建一条宽为上，修建一条宽为m米的小路米的小路(小路小路宽度宽度处处相同
6、处处相同)，则则剩下的草坪面积是剩下的草坪面积是 .(abmb)平方平方米米由题意得，将小路右侧的草坪平移与左侧的由题意得，将小路右侧的草坪平移与左侧的草坪草坪拼接拼接成一个长方形，长方形的长为成一个长方形，长方形的长为(am)米，米，宽为宽为b米，则剩下米，则剩下的草坪面积是的草坪面积是(am)babmb(平方米平方米).【点拨】4.如图，已知如图，已知ABCD，AC50，线段，线段AD上上从从左到左到右依次有两点右依次有两点E，F(不与点不与点A，D重合重合).(1)试说明：试说明：ADBC；4 方程方程思想思想【解】因为因为ABCD，所以，所以AADC180.因为因为AC，所以，所以CA
7、DC180，所以所以ADBC.(2)若若FBDCBD14，BE平分平分ABF，且且1 BDC，试判断，试判断BE与与AD的位置关系，并的位置关系，并说说明明理由理由.【解】BEAD.理由如下：理由如下：由由(1)可知可知ADBC，所以，所以1EBC.因为因为ABCD，所以，所以BDCABD.因为因为BDC1，所以，所以ABDEBC.所以所以ABEEBDEBDCBD，设设FBDx，则，则CBD4x，所以，所以ABE4x.所以所以ABECBD.因为因为BE平分平分ABF，所以，所以EBFABE4x.因为因为ABCD，C50，所以所以ABC180C130，即，即ABEEBFFBDCBD130，所以所
8、以4x4xx4x130，解得，解得x10.所以所以1EBCEBFFBDCBD4xx4x90，所以所以BEAD.5.2023齐齐哈尔齐齐哈尔如图，直线如图，直线l1l2，分别与直线，分别与直线l交交于点于点A，B，把一块含，把一块含30角的三角尺按如图所示的角的三角尺按如图所示的位置摆放，若位置摆放，若145，则，则2的度数是的度数是(B)A.135B.105C.95D.75B 5 转化转化思想思想【点拨】如图，如图，因为因为l1l2，所以所以1345，又因为又因为430，所以所以2180341804530105.6.2023威海威海 新趋势新趋势 学科综合学科综合某些灯具的某些灯具的设计设计原
9、理原理与抛与抛物线有关，如图，从点物线有关，如图，从点O照射到抛物线照射到抛物线上上的的光线光线OA，OB等反射后都沿着与等反射后都沿着与PQ平行的平行的方向方向射射出，若出，若AOB150，OBD90，则，则OAC .60 6 数数形结合思想形结合思想【点拨】因为因为PQBD，OBD90，所以所以POB90，所以所以AOPAOBPOB60.因为因为ACPQ，所以所以OACAOP60.7.如图如图，ABCD，PAB135，PCD125，求，求APC的度数，小明的思路是：过的度数，小明的思路是：过P作作PEAB，如图，如图，通过，通过平行线的性质来求平行线的性质来求APC.7 分类分类讨论思想讨
10、论思想(1)按小明的思路，易求得按小明的思路，易求得APC的的度数度数为为 .100(2)如图如图，ADBC，点，点P在射线在射线OM上运动，上运动，当当点点P在在 A，B两点之间运动时，两点之间运动时，DPC，之间之间有何有何数数 量量关系？请说明理由关系？请说明理由.【解】DPC.理由：如图理由：如图，过点，过点P作作PFAD，所以所以DPF，因为因为ADBC，所以，所以PFCB，所以所以CPF，因为因为DPCDPFCPF，所以所以DPC.(3)在在(2)的条件下，如果点的条件下，如果点P在在A，B两点外侧两点外侧运动运动时时(点点P与与 点点A，B，O三点不重合三点不重合)，请直接求，请
11、直接求出出DPC，间间的数量关系的数量关系.【解】DPC或或DPC理由：如图理由：如图，过点，过点P作作PGAD，所以，所以GPD，因为因为ADBC，所以，所以PGBC，所以所以GPC，因为因为DPCGPCGPD，所以所以DPC；当点当点P在在OB上运动时，上运动时，DPC.【点拨】分分两种情况：两种情况：当点当点P在射线在射线AM上运动时，上运动时，DPC.理由：如图理由：如图，过点，过点P作作PHAD，所以所以HPD，因为，因为ADBC，所以所以PHBC，所以，所以HPC，因为因为DPCHPDHPC，所以所以DPC.综上所述，当点综上所述，当点P在射线在射线AM上运动时，上运动时，DPC；当点；当点P在在OB上运动时，上运动时，DPC.8.如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕湖而过，若若第一次第一次拐角拐角A120，第二次拐角，第二次拐角B150，第三次拐角是，第三次拐角是C，这时的道路恰好和，这时的道路恰好和第一第一次次拐弯之前的道路平行拐弯之前的道路平行.则则C的的度数为度数为 .150 8 建模建模思想思想【点拨】如如图，过点图，过点B作作BFAD，则，则ABFA120，所以，所以FBC15012030.要要使使DACE，则，则BFCE，需满，需满足足FBCC180，所以，所以C18030150.
