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1、第十一章 曲线积分与曲面积分习题 11-11. 设在面内有一分布着质量的曲线弧L，在点（x,y）处它的线密度为（x,y）。用对弧长的曲线积分分别表达：（1） 这曲线弧对x轴,对y轴的转动惯量,（2） 这曲线弧的质心坐标,2. 利用对弧长的曲线积分的定义证明性质33. 计算下列对弧长的曲线积分：（1） ，其中L为圆周（2） ，其中L为连接（1,0）及（0,1）两点的直线段（3） ，其中L为由直线y=x及抛物线所围成的区域的整个边界（4） ，其中L为圆周，直线y=x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界（5） ，其中为曲线上相应于t从0变到2的这段弧（6） ，其中为折线ABCD，这里A,B,C,
2、D依次为点（0,0,0），（0,0,2），（1,0,2），（1,3,2）（7） ，其中L为摆线的一拱（8） ，其中L为曲线4. 求半径为，中心角为的均匀圆弧（线密度）的质心5. 设螺旋形弹簧一圈的方程为，其中，它的线密度求：（） 它关于轴的转动惯量（） 它的质心。习题 11-21.设L为面内直线上的一段，证明： 2. 设L为面内x轴上从点（a,0）到点（b,0）的一段直线，证明： 3. 计算下列对坐标的积分：（1） ，其中L是抛物线上从点（0,0）到点（2,4）的一段弧（2） ，其中L为圆周及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界（按逆时针方向绕行）（3） ，其中L为圆周上对应t从0到的一段
3、弧（4） ，其中L为圆周（按逆时针方向绕行）（5） ，其中为曲线上对应从0到的一段弧（6） ，其中是从点（1,1,1）到点（2,3,4）的一段直线（7） ，其中为有向闭折线ABCD，这里的A,B,C依次为点(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)（8） ，其中L是抛物线上从点（-1,1）到点（1,1）的一段弧4. 计算，其中L是：（1） 抛物线上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧（2） 从点（1,1）到点（4,2）的直线段（3） 先沿直线从点（1,1）到点（1,2），然后再沿直线到点（4,2）的折线（4） 曲线上从点（1,1）到点（4,2）的一段弧5. 一力场由沿横轴正方向的恒力F所构
4、成，试求当一质量为m的质点沿圆周按逆时针方向移过位于第一象限的那一段弧时场力所做的功6. 设z轴与动力的方向一致，求质量为m的质点从位置（x,y,z）沿直线移到（x,y,z）时重力所做的功7. 把对坐标的曲线积分化成对弧长的积分曲线，其中L为：（1） 在面内沿直线从点（0,0）到点（1,1）（2） 沿抛物线从点（0,0）到点（1,1）（3） 沿上半圆周从点（0,0）到点（1,1）8. 设为曲线上相应于t从0变到1的曲线弧，把对坐标的曲线积分化成对弧长的曲线积分习题 11-31. 计算下列曲线积分，并验证格林公式的正确性：（1） ，其中L是由抛物线和所围成的区域的正向边界曲线（2） ，其中L是四
5、个顶点分别为（0,0），（2,0），（2,2），（0,2）的正方形区域的正想边界2. 利用曲线积分，求下列曲线所围成的图形的面积（1） 星形线（2） 椭圆（3） 圆3. 计算曲线积分，其中L为圆周，L的方向为逆时针方向4. 证明下列曲线积分在整个面内与路径无关，并计算积分值（1）（2）（3）5. 利用格林公式，计算下列曲线积分：（1） ，其中L为三顶点分别为（0,0），（3,0）和（3,2）的三角形正向边界；（2） ，其中L为正向星形线（3） ，其中L为在抛物线上由点（0,0）到（，1）的一段弧（4） ，其中L是在圆周上由点（0,0）到点（1,1）的一段弧6. 验证下列在整个平面内是某一函数u
6、(x,y)的全微分，并求这样的一个u(x,y)：（1）（2）（3）（4）（5）7. 设有一变力在坐标轴上的投影为，这变力确定了一个力场。证明质点在此场内移动时，场力所做的功与路径无关。.判断下列方程中哪些是全微分方程？对于全微分方程，求出它的通解。（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）9. 确定常数，使在右半平面x0上的向量为某二元函数u（x,y）的梯度，并求u(x,y)习题 11-41. 设有一分布着质量的曲面，在点（x,y,z）处它的面密度为（x,y,z）,用对面积的曲面积分表示这曲面对于x轴的转动惯量2. 按对面积的曲面积分的定义证明公式 其中是由和组成的3. 当是面内的一个闭
7、区域时，曲面积分与二重积分有什么关系？4. 计算曲面积分，其中为抛物面在面上方的部分，分别如下：（1）（2）（3）5.（1）（2）6. 计算下列对面积的曲面积分：（1）（2）（3）（4） 7.8.习题 11-51. 按对坐标的曲线面积的定义证明公式 2.3.计算下列对坐标的曲面积分：（1）（2）（3）（4）区域的整个边界曲面的外侧4.把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分其中（1）（2）习题 11-61. 利用高斯公式计算曲面积分：（1） ，其中为平面x=0,y=0,z=0,x=a,y=a,z=a所围成的立体的表面的外侧（2） ，其中为球面的外侧（3） ，其中为上半球体的表面的外侧（4） ，
8、其中是界于z=0和z=3之间的圆柱体的整个表面的外侧（5） ，其中是平面x=0,y=0,z=0,x=1,y=1,z=1所围成的立方体的全表面的外侧2. 求下列向量A穿过曲面流向指定侧的通量：（1） ，为圆柱的全表面，流向外侧（2） ，为立方体的全表面，流向外侧（3） ，是以点（3，-1,2）为球心，半径R=3的球面，流向外侧3. 求下列向量场A的散度：（1）（2）（3）4. 设u(x,y,z),v(x,y,z)是两个定义在闭区域上的具有二阶连续偏导数的函数，,依次表示u(x,y,z),v(x,y,z)沿的外法线方向的方向导数。证明，其中是空间闭区域的整个边界曲面，这个公式叫做格林第二公式。5.
9、 利用高斯公式推证阿基米德原理，浸没在液体中的物体所受液体的压力的合力（即浮力）的方向沿铅直向上，其大小等于这物体所排开的液体的重力习题 11-71.2. 利用斯托克斯公式，计算下列曲线积分：（1） ，其中为圆周，若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向（2） ，其中为椭圆，若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向（3） ，其中为圆周，若从z轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向（4） ，其中为圆周，若从x轴的正向看去，这圆周是取逆时针方向3. 求下列向量场A的旋度：（1）（2）（3）4. 利用斯托克斯公式把曲面积分化为曲线积分，并计算积分值，其中A，及n分别如下：（1） ，为上半球面的上侧，n是
10、的单位法向量（2） ，为立方体的表面外侧去掉面上的那个底面，n是的单位法向量5. 求下列向量场A沿闭曲线（从z轴正向看依逆时针方向）的环流量（1） （c为常量），为圆周（2） ，其中为圆周6. 证明7. 设具有二阶连续偏导数，求总习题十一1. 填空（1） 第二类曲线积分化成第一类曲线积分是，其中，为有向曲线弧在点（x,y,z）处的的方向角（2） 第二类曲线积分化成第一类曲线积分是，其中，为有向曲面在点（x,y,z）处的的方向角2. 选择下述题中给出的四个结论中一个正确的结论：设曲面是上半球面：，曲面是曲面在第一卦限中的部分，则有。（A）（B） (C) (D)3. 计算下列曲线积分：（1） ，其
11、中L为圆周（2） ，其中为曲线（3） ，其中L为摆线上对应t从0到的一段弧（4） ，其中是曲线上由到的一段弧（5） ，其中L为上半圆周沿逆时针方向（6） ，其中是用平面y=z截球面所得的截痕，从z轴的正向看去，沿逆时针方向4. 计算下列曲面积分：（1） ，其中是界于z=0及z=H之间的圆柱面（2） ，其中为锥面的外侧（3） ，其中为半球面的上侧（4） ，其中为球面的外侧5. 证明：在整个平面除去y的负半轴及原点的区域G内是某个二元函数的全微分，并求出一个这样的二元函数。6. 设在半平面x0内有力构成力场，其中k为常数，。证明在此力场中场力所做的功与所取的路径无关。7. 设函数f(x)在内具有一阶连续导数，L是上半球面（y0）内的有向分段光华曲线，其起点为（a,b），终点为（c,d）。 记（1） 证明曲线积分I与路径积分（2） 当ab=cd时，求I的值8. 求均匀曲面的质心的坐标9. 设u(x,y),v(x,y)在闭区域D上都具有二阶连续偏导数，分段光滑的曲线L为D的正向边界曲线，证明：（1）（2）其中，分别是u,v沿L的外法线向量n的方向导数，符号称二维拉普拉斯算子10. 求向量通过闭区域的边界曲面流向外侧的通量11. 求力沿有向闭曲线所做的功，其中为平面被三个坐标面所截成的三角形的整个边界，从z轴正向看去，沿顺时针方向。
