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1、第七章 级数7.1 常数项级数的概念与性质7.1.1 常数项级数的概念常数项级数：一般的，设给定数列则该数列所有项相加所得的表达式 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数项）级数；其中第n项叫做级数的一般项或通项。级数简记为：，即部分和：作（常数项）级数的前项的和，称为级数（1）的前项部分和。当依次取1，2，3， 时，它们构成一个新的数列，称为部分和数列。级数收敛与发散：如果级数的部分和数列有极限，即（有限值），则称无穷级数收敛，极限叫做该级数的和，并写成。如果没有极限（不存在或为），则称无穷级数发散。常用级数：（1）等比级数（几何级数）：（2） 级数:级数的基本性质：性质1：若级数收敛于和，则级
2、数（是常数）也收敛，且其和为。性质2： 若级数和级数分别收敛于和、，则级数也收敛，且其和为。注意：如果级数和都发散，则级数可能收敛也可能发散；而如果两个级数和中有且只有一个收敛，则一定发散。性质3： 在级数中去掉、加上或改变有限项，不会改变级数的敛散性。性质4： 若级数收敛，则对该级数的项任意加括号后所构成的新的级数仍收敛，且其和不变。注意：该性质的逆命题不成立。即，若一个级数加括号后的新级数收敛，则不能推出原级数收敛。推论1： 若加括号后所成的级数发散，则原来级数也发散。性质5： 若级数收敛，则。注意：仅仅是级数收敛的必要条件，而非充分条件。7.2 常数项级数的审敛法7.2.1 正项级数收敛
3、的充要条件正项级数：若，则称级数是正项级数。正项级数收敛的充分必要条件：它的部分和数列有界（有上界）。7.2.2 正项级数的审敛法比较审敛法：设和都是正项级数，且。则若级数收敛，则级数收敛；若级数发散，则级数发散；推论：设和都是正项级数，如果级数收敛，且存在正整数，使得当时有成立，则级数收敛；如果级数发散，且当时有成立，则级数发散。比较审敛法的极限形式：设和均为正项级数，那么若，级数和同时收敛或同时发散若，且级数收敛，则级数收敛若，且级数发散，则级数发散比值审敛法：设为正项级数，如果 则(1)时，级数收敛；(2)时，级数发散；(3)时，级数可能收敛也可能发散。根值审敛法、极限审敛法不考。7.2
4、.3 交错级数及其判别法莱布尼茨判别法：如果交错级数满足条件： 则级数收敛，且其和满足，余项的绝对值满足。注意：莱布尼茨定理只是交错级数收敛的一个充分条件，并非必要条件。当定理中的两个条件不满足时，不能由此判断交错级数是发散的。7.2.4 任意项级数的绝对收敛与条件收敛任意项级数：对于一般的常数项级数，其中为任意实数，可以是正数、负数或0，这种级数又称为任意项级数。对应地，可以构造一个正项级数。绝对收敛判别法：定理：若级数收敛，则级数收敛。（绝对收敛的级数必收敛。）定义：设为任意项级数，如果级数收敛，则称级数绝对收敛如果级数发散，但是级数收敛，则称级数条件收敛。对于任意项级数敛散性的判别方法：
5、对于任意项级数，通常先判断它是否绝对收敛，若是，即可得出结论；若否，则进一步判定它是条件收敛还是发散。对于任意项级数的比值审敛法：对任意项级数，设则(1)若时，则绝对收敛，因而收敛；(2)若时，则发散；(3)若时，此法失效。7.3 幂级数7.3.2 幂级数及其收敛性幂级数：形如的级数，称为幂级数，其中是任意给定的实数，称为幂级数的系数。当时，上式变为。收敛半径与收敛域：阿贝尔定理：设幂级数=，若该幂级数在处收敛, 则对于满足条件的一切, 该级数绝对收敛。反之, 若它在时发散, 则对一切适合不等式的, 该级数发散。推论: 如果幂级数不是在上每一点都收敛,也不是只在处收敛,那么必存在一个唯一的正数
6、R, 使得:(1) 当时, 幂级数收敛;(2) 当时, 幂级数发散;(3) 当或时, 幂级数可能收敛,也可能发散。则称这个数 为幂级数的收敛半径 ，称区间为幂级数的收敛区间，幂级数在收敛区间内绝对收敛。由幂级数在 处的收敛性就可以决定它在区间 或 上收敛, 该区间叫做幂级数的收敛域。（收敛域为收敛区间加上收敛的端点，是幂级数的所有收敛点组成的集合） 和函数：对于收敛域内的任意一个数，幂级数为该收敛域内的一个收敛的常数项级数，于是有一个确定的和. 这样，在收敛域上，随着数的变化，总有一个确定的和与之对应，故幂级数的和是的函数，记为，通常称为幂级数的和函数。收敛半径的求法：设幂级数,其系数当时(为
7、某一个正整数), 且存在极限则 (1) 当时,收敛半径;(2) 当时,收敛半径;(3) 当时,收敛半径。7.3.3 幂级数的性质加法与减法（收敛性）:设幂级数和的收敛半径分别为和(均为正数) , 取,则在区间内成立：=幂级数的和函数的性质：设幂级数在内收敛，且其和函数为,则（1）和函数的连续性：在内连续. 若幂级数在(或)也收敛, 则在处左连续(或在处右连续).（2）逐项求导数：在内每一点都是可导的,且有逐项求导公式: 求导后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径。反复应用该结论可得: 幂级数的和函数在收敛区间内具有任意阶导数。（3）逐项求积分：在内可以积分,且有逐项积分公式: ,其中是内任一点,
8、积分后的幂级数与原级数有相同的收敛半径。注意：经过逐项求导和求积所得的幂级数与原级数有相同的收敛半径，但区间端点处的收敛性会有所不同。若逐项求导或逐项积分后的幂级数在处收敛,则或对处也成立，在处有类似的性质。7.4 函数展开成幂级数7.4.2 泰勒级数7.4.3 函数展开成幂级数常见函数的泰勒展开式： 掌握了函数展开成麦克劳林级数的方法后，当要把函数展开成x-x0的幂级数时，只需要把f(x)转化成x-x0的表达式，把x-x0看成变量t，展开成t的幂级数，即得x-x0的幂级数。7.5 傅里叶级数7.5.1 三角级数、三角函数系的正交性三角级数：一般地，称形如的级数为三角级数。其中()都是常数,
9、称其为该三角函数的系数。若收敛, 其和函数必定是一个以为周期的函数三角函数系及其正交性：三角函数系有以下性质：(1) 三角函数系具有共同的周期。(2) 三角函数系在上具有正交性. 即三角函数系中任何两个不同的函数的乘积在上的积分都等于零。 () () ()7.5.2 函数展开为傅里叶级数函数的傅里叶系数：设是周期为的周期函数，在区间,上可积，则称为函数的傅里叶系数。傅里叶级数：以的傅里叶系数为系数的三角级数，称为函数的傅里叶级数，表示为。Dirichlet定理, 收敛定理：设是以为周期的函数, 如果它满足: (1)在一个周期内连续或只有有限多个第一类间断点;(2)在一个周期内，至多只有有限多个
10、极值点(即不作无限次振动)则的傅里叶级数在上处处收敛, 并且当是的连续点时, 级数收敛于;当是的间断点时, 级数收敛于;非周期函数展开为傅里叶级数：对于非周期函数,如果函数只在区间,上有定义,并且满足狄氏充分条件,也可展开成傅里叶级数。作法:在区间或外补充f (x)的定义，使它延拓成一个周期为的周期函数F (x), 这种拓广函数定义域的方法称为周期延拓。将作周期延拓后的函数F (x)展开成傅里叶级数，然后再限制x在区间内，此时显然有F (x)= f (x)，这样便得到了f (x)的傅里叶级数展开式，这个级数在区间端点处，收敛于7.5.3 正弦级数与余弦级数定理：定义：技术官员村位于位于亚运城东
11、部，主干道二以东石楼涌以西的地块，占地面积、m2，总建筑面积、m2，共包括地下室南区、地下室北区、地上部分1栋12栋、服务中心、室外工程等多个单体工程。其中住宅面积m2，共12栋，17栋建筑层数为11层，812栋11层（局部复式顶层），首层局部架空，布置公建配套设施。integrated energy, chemicals and textile Yibin city, are the three core pillars of the industry. In 2014, the wuliangye brand value to 73.58 billion yuan, the citys l
12、iquor industry slip to stabilise. Promoting deep development of integrated energy, advanced equipment manufacturing industry, changning district, shale gas production capacity reached 277 million cubic metres, built the countrys first independent high-yield wells and pipelines in the first section,
13、the lead in factory production and supply to the population. 2.1-3 GDP growth figure 2.1-4 Yibin, Yibin city, Yibin city, fiscal revenue growth 2.1.4 topography terrain overall is Southwest, North-Eastern State. Low mountains and hills in the city landscape as the main ridge-and-Valley, pingba small
14、 fragmented nature picture for water and the second land of the seven hills. 236 meters to 2000 meters above sea level in the city, low mountain, 46.6% hills 45.3%, pingba only 8.1%. 2.1.5 development of Yibin landscapes and distinctive feature in the center of the city, with limitations, and spatial structure of typical zonal group, 2012-cities in building with an area of about 76.2km2. From city-building situation, old town-the South Bank Center construction is lagging behind, disintegration of the old city is slow, optimization and upgrading, quality public service resources a
