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1、数学思想方法在学生思维发展中的意义银川二十四第二十四中学 吕凌丽提要：本文将就高中数学学习中所渗透的数学思想方法，如函数与方程的思想，数形结合思想，化归与转化思想，创新思想，分类讨论思想等，在学生的思维发展中的深远意义。加深对数学价值的理解，提高认知水平和分析行为的能力，提高学生学习价值和个人能力有效感，有力地促使学生在网络信息飞速发展的今天如何快速获取新知识的能力和收集、处理信息的能力。关键词：数学思想； 思维发展； 指导意义； 辩证法；（一） 发展数学思维的深远意义高中阶段的数学学习是发展数学思维的重要的时期。数学是一门逻辑性非常严谨的学科，能够帮助学生养成良好的学风与科学的学习态度，学生
2、的思维能力的发展在经历了高中三年这样一个长期的系统的培养和训练过程后，会得到一个跨越式的发展。这对于学生来说，无疑是一个重要的人生经历，对于学生的将来如何正确看待事物，从较高的角度来把握问题的实质，都有着不可忽视的举足轻重的作用。高中数学学习的主要任务不仅仅是学知识，而是增强数学素质，优化思维结构，突出数学思想方法，提高思维能力。数学不仅仅是一种重要的工具，更重要的是一种思维模式，一种内化了的思想。因此，数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，能够广泛应用于相关科学和社会生活中。数学思想方法是数学的精髓，只有运用数学思想方法，才能更深刻地理解数学的本质，才能把数学知识与技能转化为分析问
3、题和解决问题的能力。因此，要结合具体问题不失时机地运用、渗透数学思想方法，对其进行多次再现、不断深化，逐步内化为自己能力的组成部分，使学生的发展实现由知识型向能力型的转化。学生学习数学思想、方法有利于实现学习迁移，量到质的迁移，表象到本质的迁移，主观到客观的迁移，特别是原理和态度的迁移，可以较快地提高学习质量和数学能力，加深对数学价值和意义的理解，提高认知水平和分析行为的能力，而且会增强自己的情感体验与支配行为的精神力量，激发其学习热情和培养学好数学的信念，从而提高学生学习价值和个人能力有效感，能有力地促使学生学习信念的形成以及在网络信息飞速发展的今天如何快速获取新知识的能力和收集、处理信息的
4、能力，而不是被纷繁复杂的信息所困扰和淹没。不管孩子们将来从事什么方面的业务工作，深深地铭刻于头脑中的数学精神、数学的思维方法、研究方法，会随时随地发生作用，使他们受益终生。（二） 培养数学思维能力的途径及意义常用的数学思想方法可分为三类：一是具体操作方法，如配方法、消元法、换元法、迭代法、裂项相消法、错位相减法、特值法、待定系数法、同一法等等；二是逻辑推理法，如综合法、分析法、反证法、类比法、解析法、归纳法等等；三是具有宏观指导意义的数学思想方法，如函数与方程的思想方法、数形结合的思想方法、分类讨论的思想方法、化归与转化的思想方法等. 数学思想，实质上就是唯物辩证法在数学中的运用的反映。本文将
5、就第三类具有宏观指导意义的数学思想方法及它们在高中阶段的数学学习的指导意义进行阐述和分析：一、函数与方程思想函数的思想，是用运动和变化的观点，分析和研究数学中的数量关系，建立函数关系或构造函数，运用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想是对函数概念的本质认识，用于指导解决问题就是善于利用函数知识或函数观点观察、分析和解决问题。方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系，建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。方程的数学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用方程或方程组的观点观察处理问题。方
6、程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.例如解析几何中的直线和二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，涉及到二次方程与二次函数的有关理论。立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，也经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。函数与方程的思想蕴含了深刻的哲学思想，这种思想的渗透和内化会使学生学会用发展的眼光来看待问题，善于透过现象看本质，发现事物之间存在的联系，动中求静，以静制动，以不变应万变，奋进中求安宁。二、数形结合思想数形结合作为一种重要的数学思想，就是指在处理数学问题时，能够将抽象的数学语言与直观的几何图象有机结合起来思索，促使抽象思维和形象思维和谐复合，通过对规范
7、图形或示意图形的观察分析，化抽象为直观，化直观为精确，从而使问题得到简捷解决的思想方法. 数与形是事物的两个方面，正是基于对数与形的抽象研究才产生了数学这门学科，才能使人们能够从不同侧面认识事物，华罗庚先生说过:数与形本是两依倚,焉能分作两边飞. 数缺形时少直观, 形少数时难入微.把数量关系的研究转化为图形性质的研究，或者把图形性质的研究转化为数量关系的研究，这种解决问题过程中数与形相互转化的研究策略，就是数形结合的思想。数形结合思想就是要使抽象的数学语言与直观的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合起来。数形结合思想是解决数学问题的一种常用方法与技巧，特别是在问题的结构中含有较为明显的几何意
8、义时会发挥出奇特功效，它的运用，往往展现出柳暗花明又一村般的数形和谐完美结合的境地。其中数形结合的两个方面：以形代数、以数助形更是将数与形本质的统一关系体现得淋漓尽致。数形结合思想同样有其深刻的哲学思想，我们要善于领悟其中的内涵。在表现形式大相径庭，而本质却有着无可非议的统一关系，也就是说高中数学中数形结合思想的运用，对于培养学生形象思维和抽象思维，以及用辩证统一、一分为二的观点来看待事物也是不无裨益的。三、化归与转化思想化归与转化的思想确是指在解决问题时，采用某种手段使之转化，进而使问题得到解决的一种解题策略，是数学学科与其它学科相比，一个特有的数学思想方法，化归与转化思想的核心是把生疏转化
9、为熟悉，化困难为容易，化未知为已知，化综合为单一，化一般为特殊，化正面为反面，化运动为静止。转化有等价转化与不等价转化。等价转化后的新问题与原问题实质是一样的。 不等价转化则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。 常见的转化有 正与反的转化、数与形的转化、相等与不等的转化、整体与局部的转化、空间与平面相互转化、复数与实数相互转化、常量与变量的转化、数学语言的转化事实上，解题的过程就是一个缩小已知与求解的差异的过程，是求解系统趋近于目标系统的过程，是未知向熟知转化的过程。比如说，立体几何中所蕴含的数学思想方法非常丰富，其中最重要的就是转化的思想方法，它贯穿立体几何教学的始终，在立
10、体几何教学中占有很重要的地位。立体几何中的转化主要是空间问题向平面问题的转化，具体有以下几个方面：位置关系的转化，降维转化，割补转化，等积转化，抽象向具体转化等。四、创新思想教育家陶行知说：处处是创造之地，天天是创造之时，人人是创造之人。当今的知识信息经济时代需要的就是创造型人才，特别需要人的自主探究创新开拓精神。所以说，具有创新的个性倾向才能产生创新的意识与行动，成为鲜活的有个性的学生，使他们充满自信，不迷信定势，不屈从权威，具有自己的意志立场和自主行动的倾向，养成独立的、不盲目从众的独特的人格特征，能够在类似中找差异，化日常为新颖，化平庸为新奇，就要在教学实践中帮助和鼓励学生积极发掘自身的
11、创新潜能，不断实现对自我的超越。充分发展学生的自主探究能力，培养创新素质，激发学生自身的创造欲，给学生创造足够的自主空间，鼓励学生异想天开、标新立异，拓宽他们的知识结构，促进学生创新素质的发展和创造力的开发，从而形成创新氛围，这是学习社会化的需要，也是真正实现人人需要创造，人人可以创造的重要途径之一。创新思想鼓励学生求同存异，教会学生无论是对待学习还是对待生活，都要有朝气蓬勃的热情，有喷薄荡漾的激情，不固守平庸，不拘泥于平淡。无论处境如何，都有能力做自己命运的设计师，健康、快乐、心怀感恩地为自己所渴望实现的目标和理想甚至信仰而追求一生。五、发散性思维 发散思维是指从不同角度、不同侧面、不同方向
12、思考并解决问题的一种思维活动。教学中往往是通过一题多解、变式、推广拓展延伸，以点带面、层层递进的方式，引导学生探求新的结论，融问题类比、方法类比、结论类比为一体，充分调动学生思维的主动性和积极性，来培养学生正确、合理地选择思维起点，提高思维能力的。一题多解、间接解法、反常解法或独特解法的运用，是丰富学习生活、优化整合思维、突破常规、发现问题、实现创新的原动力。事实上，我们不仅可以通过少量的问题去沟通各部分知识的联系，拓展解题的思路，而且有利于培养学生的探求精神和对数学的兴趣，更重要的是，有效地解题方法能体现多种思想方法，对于培养学生解决同类问题、拓展思路十分重要。弄清基本知识和基本数学思想在解
13、决问题中的意义和作用，研究运用不同的思维方法解决同一问题的各种途径，在分析解决问题的过程中构建知识的横向或者纵向联系，敢于对比与质疑，勇于反思与认定，敢于挑战，相信自己内在的能力、才能、天赋和力量是没有界限的。六、特殊化思想由特殊到一般,再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一，对数学而言，这种由特殊到一般,再由一般到特殊的研究数学问题的基本认识的过程,就是数学研究的特殊与一般的思想.在高中数学学习中,经常遇到的一些能集中体现特殊与一般的思想的问题，比如有由一般归纳法进行猜想的问题; 由平面到立体,由特殊到一般进行类比猜想的问题;抽象函数问题;定点,定值问题; 用特殊化方法处理
14、选择题等。特殊化思想给学生的启迪是，具体问题要具体对待，有些问题可以大而化小，有些问题却需要小题大做，借题发挥，有些时候必须大刀阔斧，有些时候必须注重细节，精益求精，知道变则通，才能够在问题的层面中提炼出关键点，以此作为切入点，使问题迎刃而解。七、分类讨论思想在数学学习中,我们常常遇到这样一种情况，在某一问题解到某一步之后，不能再以统一的方法，统一的式子继续进行了，因为这时被研究的问题包含了多种情况，这就必须在条件所给出的总区域内依据一定的标准，正确划分若干个子区域，然后分别在多个子区域内进行解题，这里集中体现的是由大化小,由整体化为部分,由一般化为特殊的解决问题的方法,其研究方向基本是分，但
15、分类解决问题问题之后，还必须把它们总合在一起，这种合分合的解决问题的过程，就是分类讨论的思想方法。分类讨论思想要特别注意分类必须满足互斥、无漏、最简的原则。 分类讨论常见的依据是 1 由概念内涵分类。 如绝对值、直线的斜率、指数对数函数、直线与平面的夹角等定义包含了分类。 2 由公式条件分类。 如等比数列的前n项和公式、极限的计算、圆锥曲线的统一定义中图形的分类等。 3 由实际意义分类。 如排列、组合、概率中较常见，但不明显、有些应用问题也需分类讨论。 分类讨论思想教会学生对待问题要全面，不能片面单一，只顾及局部，而缺乏整体意识，即所谓一叶障目，不见泰山。把握事物的整体，站在一个高度上来看待事物，关注导致问题发展变化内在和外在的所有因素，并且衡量其权重，往往可以使问题在井井有条、有条不紊中得到化解。（三）综述事实上，很多人认为学数学是一件非常鼓噪乏味的事情，他们认为数学就是一些抽象的符号的毫无意义的堆砌，简单地概括就是繁和难。但是笔者认为，学习数学不仅仅是在单纯而呆板地学习数学中的定义、公式、原理、定理，而是在公式、定理的推导与证明中，在严谨的逻辑和缜密的思维训练中，在知识点与知识点之间的衔接中，在对一个复杂问题的系统的条分缕析中，通过数学思想方法的渗透和强化，逐渐达到潜移默
