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1、近世代数课后习题参考答案第五章 扩域1 扩域、素域1. 证明:的一切添加的有限子集于所得的子域的并集是一个域.证 一切添加的有限子集于所得的子域的并集为1)若 则一定有易知 但 从而 2)若且则从而有 单扩域 令是域的一个扩域，而证明是上的一个代数元，并且证因故是上的代数元其次，因，故易见，从而令是有理数域复数和在上的极小多项式各是什么？与是否同构？证易知复数在上的极小多项式为在上的极小多项式为因故这两个域是同构的详细证明，定理中在域上的极小多项式是证令是中的所有适合条件的多项式作成的集合1) 是的一个理想()若则因而故)若是的任一元那么则2)是一个主理想设是中！的极小多项式那么，对中任一有
2、这里或r(x)的次数但因 所以若则与是的极小多项式矛盾故有因而 （）因p(a)=0故p(x)因二者均不可约，所以有又的最高系数皆为1那么这样就是 证明：定理中的 证设，则在定理的证明中，之下有 但故必这就是说因而 代数扩域令是域的一个代数扩域，而是上的一个代数元， 证明是上的一个代数元证因为是上的代数元所以又因为是F的代数扩域，从而是的代数扩域，再有是上的代数元，故()的有限扩域，由本节定理，知 是的有限扩域，因而是的代数扩域，从而是上的一个代数元令,E和L是三个域，并且，假定而的元在上的次数是n，并且证明在上的次数也是证设因为 由本节定理 另一方面，因为仍由本节定理！即有但由题设知故 又在上
3、的次数是，因而其在上的极小多项式的次数是在上的次数是，因而其在上的极小多项式的次数是由于在上的极小多项式能整除在上的极小多项式所以因而令域！的特征不是，是的扩域，并且 证明存在一个满足条件的的二次扩域的充分与必要条是：，而在上的极小多项式是证充分性：由于在上的极小多项式为故及因而由本节定理知：所以这就是说，是一个满足条件的的二次扩域必要性：由于存在满足条件且为的二次扩域即因此可得（我们容易证明，当的特征不是时，且则 而！在！上的极小多项式是！同样而在上的极小多项式是这样 那么所以令 同时可知均属于由此容易得到令是域的一个有限扩域，那么总存在的有限个元使证因为是的一个有限扩域，那么把看成上是向量
4、空间时，则有一个基显然这时令是有理数域，看添加复数于所得扩域 证明证易知！在！上的极小多项式是！即（同样上的极小多项式是即由此可得（ 多项式的分裂域 证明：有理数域上多项式的分裂域是一个单扩域其中是的一个根证的个根为 又所以令是有理数域，是上一个不可约多项式，而是的一个根，证明不是在上的分裂域 证由于是的一个根，则另外两个根是，这里，是的根若是的在上的分裂域那么这样，就是由3。3定理！有但此为不可能.令是域上个最高系数为的不可约多项式，证明存在的一个有限扩域，其中在上的极小多项式是证令由本节定理在上的分裂域存在，根据4.3定理， 知是上的有限扩域，取的根则有因是的有限扩域，故也是的有限扩域，显
5、然！是在F上的极小多项式令是一个特征为素数的域，是的一个单扩域，而是的多项式的一个根，是不是在上的分裂域？ 证因是的根故即由于的特征为素数！所以因此是在上的分裂域 有限域令是一个含个元的有限域，证明，对于是每一个因数，存在并且只存在的一个有个元的子域证因为是的因数，所以那么是的因式， 但在中完全分裂，所以在中也完全分裂，那么中含有的个根，由这个根作成一个子域又因为在中的分裂域只有一个，所以中有个元的子只有一个一个有限域一定有比它大的代数扩域证设是有个元的有限域看上的因为对的任一元因此，在上没有一次因式这样，在上有一个一次数的不可约因式作分裂域则而且是的代数扩域令是一个有限域，是它所含素域，且是
6、否必须是的非零元所作成的乘群的一个生成元？ 证我们的回答是未必 令是元素域在上的分裂域为，若令的因式！的根为，则由所组成，！故不是非零元所作成的乘群的生成元但。令是特征为的素域!找出的一切三次不可约多项式证容易证明及是的一切三次不可约多项式 可离扩域令域的特征是是上一个不可约多项式，并且可以写成上，但不能写成的多项式，证明，的每一个根的重复度都是证由于可以写成上的多项式，而不是的多项式，我们以表示因为在上不可约，所以也不可约假定的次数是，首系数是，在它的分裂域中，分裂为次因式的乘积，即因此若是的根，则那么所以有个互异个根，并且它们都是重根设域没有不可离扩域，证明的任一代数扩域都没有不可离扩域证
7、设是的一个代数扩域，是的一个不可离元，那么便是上一个有重根是不可约多项式的根根据题设是上是可离元，令是起极小多项式，则无重根那么，因无重根，故亦无重根，这与是的不可离元的假设矛盾令域的特征是而，这里是上次可离元而是上次非可离元，？证由本节引理，是上的非可离元，否则可以推出是上的可离元，这与是上非可离元矛盾，由于是上次非可离元，由本节引理，！在在上的极小多项式是我们易知是使在上为可离元的最小正整数，那么！在上也一定是次非可离元这样故有（）找一个域，使有一个有限域而不是的单扩域证取域其特征是并设是的无关无关未定元令 易知都是上不可约的单位元所以是的一个有限扩域，并且我们说，不是的单扩域：若，则为的有理式，从而为的有理式，故的次数，因此在上次数与矛盾
