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1、释疑解难 无穷级数问题1 试判断下列命题是否正确？（1）若，则必定收敛。（2）设，是正项级数，为大于零的常数，则，同敛散。答：均不正确。（1）是级数收敛的必要条件，不能判断的收敛，但它的逆否命题成立，可以用来判断的发散，即若，则发散。（2）反例，考虑。问题2 下列运算是否正确？若均收敛，且对一切自然数有，证明：也收敛。 证明：且均收敛，由比较判别法知收敛。 答：不正确。因为证明中使用了比较判别法，而比较判别法只适用于正项级数，题目中并未指出级数是正项级数，正确方法如下： 证明：由条件可得 ，故与均为正项级数。与收敛，从而收敛，由正项级数的比较判别法，也收敛，而，所以也收敛。问题3 设均为正项级
2、数，满足，()，且级数收敛，证明收敛。下面证明过程正确吗？ 证明：收敛， ， 又 ，由比值判别法知，收敛。 答：不正确。因为比值判别法的逆命题不成立，即根据正项级数收敛，不能推出存在并且小于1的结论。（例如，收敛，但），同时由存在，也不能推出存在的结论。正确证明如下：由，推出 ，于是 ，又 收敛，根据正项级数的比较判别法知收敛。问题4 幂级数的收敛域具有什么特点？ 答：1幂级数的收敛域不是空集，至少为收敛点。2幂级数的收敛域是以为中心的对称开区间加收敛的端点，区间端点为，收敛域可能是闭区间，开区间或半开区间，也可能是实数域（收敛半径）或孤立点。3由阿贝尔定理，有若幂级数在处收敛，则在即内必绝对
3、收敛，而若在处发散，则在之外必发散。问题5 设函数在点的某一邻域内具有任意阶导数，试问是否总能在点展开为泰勒级数？答：首先必须明确两个概念：（1）在点的泰勒级数是指幂级数；（2）在点能展开为泰勒级数是指存在的某个邻域，总有， 即所展开成的级数必须收敛于。以上是二个不同的概念，事实上只要在点有任意阶导数，就可以写出泰勒级数，但根据收敛定理知，在内收敛于的充分必要条件是：在内，的泰勒公式的余项，若没有的条件，在点就不一定能展开为泰勒级数。例如 在点各阶导数都存在，且等于零，事实上由归纳法（略），得 由于，因此在点的泰勒级数为，其和函数为。说明在点的泰勒级数在邻域内不收敛于，因此，在点不能展开为幂级
4、数。问题6 怎样用间接法将函数展开为幂级数？答：将展开为的幂级数指幂级数的形式为，因此，展开时常借助于马克劳林级数，而将展开为的幂级数所指的幂级数形式为，故而常常借助于泰勒级数。间接展开法是通过变形将函数化为适当的形式，利用已知的展开式来完成的。1是有理分式，可利用展开式展开：例1 将展开为的幂级数。解：可利用变量变换，令，得或也可将分解为 。例2 将分别展开为的幂级数和的幂级数。解：将化为部分分式之和： （1）展开为的幂级数 （2）展开为的幂级数先将化为如下形式： ，（由，得） ，。对于（为质因式，在实数范围内不能再分解因式），一般应用直接展开法或待定系数法，但对一些特殊情况，也可用间接法展
5、开，例如 例3 将展开为的幂级数。解：由于时，有 再求导，利用幂级数逐项求导性质，得 ，另解 如下方法更为简单：， 2是无理函数，通常转化为，再求其展开式例如 利用 （）展开为的幂级数。3是超越函数，除了注意函数变形为已知展开式的形式外，应特别注意，如果的导数积分的展开式为已知，则通过逐项积分和求导的方法把求的展开式转化为求或的展开式。例如，。与的展开都可通过对其导函数、和的展开再逐项积分或逐项求导来完成。例将下列函数展开为的幂级数： （1） （2）解：（1） 因为而 ，所以在上面展开式中，以代便得 ， （2） ， 积分 ，当时，为收敛的交错级数。，问题7 任何函数都能展开为傅里叶级数吗？函数能展开为傅里叶级数吗？答：根据收敛定理，如果是周期函数且满足收敛条件，当然可以展开为上的傅里叶级数；如果不是周期函数，只要在上满足收敛条件，也可以通过周期延拓展开，从而得到上傅里叶级数；如果在满足收敛条件，则可以通过奇（偶）延拓展开，从而得到上的正弦级数、余弦级数。例如，等都不能展开为上傅里叶级数，但它们可以展开为上傅里叶级数。函数可以展开为傅里叶级数，这是因为可以将这个函数进行周期延拓，使延拓后的函数成为周期函数：然后将展开为傅里叶级数，注意在上，因此的傅里叶级数在上就是的傅里叶级数。另外，这两个函数也可以展开成上的正弦级数、余弦级数。
