点集拓扑思考题.doc

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1、一、 填空 当X=1,2,3，则T = 1,2, 是X的一个拓扑。T = , X ,1 , 2 ,1,2 2. 一拓扑空间，A包含于X，x属于X。如果对于任何U属于Ux，有 _ U(A-x)_，则称点是集合的一个凝聚点。3. 空间R中，所有_有限开区间构成的集_是R的一个基。4.X是一集合，S 是X的一个子集族，即S P (X)，如果_X=Us属于s S 则X有唯一的一个拓扑以S 为子基。5.X是拓扑空间，xX，如果B是X的一个基，则 _ B x=BB | xB _是X是一个邻域基。6. X为 _有限_集时，X的有限补拓扑是离散拓扑。7._ 子集A和B是隔离的_的充分必要条件是A与B无交且其中

2、任何一个不含另一个的凝聚点。8.一个局部连通_空间等价于X有一个基，它的每个元素都是连通的。9.数空间R的一个子集包含着不少于两个点，则A是_连通子集_A是一个区间。10. 从任意拓扑空间到 _平庸_空间的映射都是连续的。11. Y是拓扑空间X的一个子空间，yY，如果V Y 是y在X中的一个邻域基，则 V y|Y 是y在Y中的一个邻域基.12. Y是拓扑空间X的一个子空间。如果B 是X的一A基，则 B|Y 是Y的一个基.13.X,Y是两个集合，则f : XY是 单 射当且仅当A,B X , f (AB) = f (A)f (B)。14.A是拓扑空间X的子集，则_ Ad(A)_叫做集合a的闭包。

3、15.是拓扑空间，如果X中有一个可数稠密子集，则称X是一个可分空间。16.扑空间X中任意两个不相同的点中，每一个点都有一个邻域不包含另一个点，则X一定是_ T1 _空间。17.扑空间，是的，则映射f : XY连续对每一点xX ，如果_如果X中的序列xi收敛于xX _则Y中的序列 f (xi)iZ+收敛于f (x)。18.拓扑空间必定是某一个_紧致空间 空间的开子空间。19.紧致空间X的每一个_具有有限交性质_的闭集族都有非空的交。20. 设F是X的所有闭集构成的集族，则F_一个凝聚点的并仍是的闭集。21. 如果X是T1空间，则点x是X的子集A的 F的有限个元 对x的每个邻域U，UA是无限集。2

4、2.集合A的内部等于_包含于A的所有_开集之并。23. B是拓扑空间(X,T)的_一个基_当且仅当对每一个x属于X和，存在VB使x 属于V包含于U。24. 设是拓扑空间，每一个_连续映射f：0,1X _叫做X中的一条道路。25.X,Y是拓扑空间，X是的，如果映射f : XY是一个 满的连续开映射 映射，则也是的。26._ 局部连通_空间的任何开集的任何一个连通分支是开集。27. X是平庸空间，则它的拓扑T = , X ； ; X是离散空间，则它的拓扑T = P(X) 28. 度量空间 空间中的任何一个收敛序列只有唯一的一个极限点。29. 设X是一个拓扑空间，AX ,则A是闭集 A是开集 。30

5、. x A的导集 对x的任何一个邻域U，UA。31. 设X是一个拓扑空间，AX , 则A是开集 A=A 32. X是拓扑空间，AX , xX 。则x 33. 设A是度量空间(X, )中的一个非空子集，则x d(A) (x,A-x) =0 。34.X是一个 度量 空间时，A包含于X , 则点xX是A的一个凝聚点在集合A-x中有一个序列xiiZ+ 收敛于x 35. 设X,Y是两个拓扑空间，如果 f：XY连续 则X中的序列xiiZ+ 收敛于x蕴涵Y中的序列f(xi)iZ+收敛于f(x)。36. .设是拓扑空间，Y是一个集合，f : XY满射，则T1= T 1=UY | f-1(U)T 称为Y的相对于

6、满射f而言的商拓扑。37. 一个拓扑空间X如果 在它的每一点处有一个可数邻域基 ，则称它为满足第一可数性公理的空间。38.B是拓扑空间(X,T )的基当且仅当对每一个和， 存在Vx B ，使得xVx包含于U 。39.设是拓扑空间Y 的一个基，（X,T）是拓扑空间。则f : XY连续对每个BB ，有 _ 原像f-1(B)是X中的一个开集_ 。40.实数空间R中， S = 是R的一个子基。 41. X是一个拓扑空间，如果对于任何点xX和x的任何一个开邻域U，存在x的一个开邻域V使得，则X是 一个正则空间 空间。42.若对拓扑空间X的任何两个不交的闭集A和B，存在连续映射f： Xa,b使得当xA时f

7、(x) = a ，和当xB时f(x) = b ，则X是一个正规空间。43.拓扑空间X是一个 一个可分的度量空间 充分必要条件是X是一个满足第二可数性公理的T3空间。44. 从紧致空间到 hausdorff 空间的任何一个连续映射都是闭映射。45.X是一个 局部连通空间 拓扑空间X有一个基，它的每一个元素都是连通的。46. 拓扑空间X中包含点x的 连通分支 是包含点x的最大的连通子集。47. 如果X是 只有有限个连通分支 空间，则X的连通分支既是开集又是闭集.48. 设X是连通空间，f : XR连续，则f(X)是R中的 一个区间 。49. E是实数空间R的一个子集，则E是一个连通子集E是_ _区

8、间_。50. n维欧氏空间Rn的任何一个 连通开集 都是道路连通的。51.X是拓扑空间，A、B X 。如果 （A）（B）= 则称A,B是X的两个隔离子集。52. X是一个 只有有限个连通分支 空间时，X的每一个连通分支既是开集又是闭集。53. 度量 空间中，任何一个收敛序列的极限点是唯一的。 54. X是一个 正规 空间，当且仅当对于任何一个闭集AX和A的任何一个开邻域U，存在A的一个开邻域V使得。55. 若对拓扑空间X的任意一点x和不包含x的闭集B，存在连续映射f： . f：X0,1使得f (x) = 0 以及对于任何yB有f (y) = 1 ，则X叫做完全正则空间。56. 拓扑空间X是一个

9、可分的度量空间的充分必要条件是X同胚于 Hilbert空间 的某一子空间。57. 从 空间到Hausdorff空间的任何一个连续映射一定是同胚映射。58. 设X是一个拓扑空间，AX , xX 。如果对于x的任何一个邻域U有 UA,且UA ,则称x是A的一个边界点。59. 在度量空间中，_所有球形领域_ 构成的集族是这个度量空间的一个基。60.设X是n个拓扑空间X1, X2 ,，Xn 的积空间，B i是Xi 的基（i=1,2,n）。则X的子集族B * = 是X的一个基。二、选择填空题1、设是拓扑空间，AX，则 _不是A为闭集的充要条件。 A是开集； ； ； d (A)A。2、是拓扑空间，则_不是

10、AT 的充要条件。 ； $A T 使A=UA U； ； 若xA，则，（是x的邻域）。3、以下结论正确的是 。连通空间一定是局部连通空间； 局部连通空间一定是连通空间； 道路连通空间一定是连通空间； 道路连通空间一定是局部连通空间。4、实数空间R不是 空间。 Hausdorff； 连通； 正规； 可数紧致。5、以下结论不正确的是 。 度量空间是T4空间； Tychonoff空间是Hausdorff空间； 完全正则空间是正则空间 ； 正规空间是Hausdorff空间 。6、设是拓扑空间，如果对于X中的任何两个不相交的闭集A,B总存在连续映射f ：X0，1使得xA时使f (x) = 0 , yB时f

11、 (y) = 1，则这样的空间X是 空间。 Hausdorff； Lindeloff； Tychonoff； 正规。7、以下关系 不正确。 可数紧致序列紧致； 序列紧致可数紧致； 可数紧致列紧致； 可数紧致+ Lindeloff性 紧致。8、局部紧致空间中，以下关系 不成立。 Tychonoff 空间 Hausdorff空间； 完全正则空间 正则空间； 完全正则空间 Tychonoff空间； 正则空间 + T1空间 T3空间。9、以下空间中 不是连通的空间。至少含两个点的离散空间； 平庸空间； 实数空间; 含无限多个点的有限补空间。 10、以下空间中 不是正则的空间。 离散空间； 实数空间；

12、度量空间； 含不可数多个点的可数补空间。11、设X是拓扑空间，A、B X，则下列条件中 _不一定成立。 若AB，则d(A)d(B) ； d (AB) = d (A)d(B) ； d (AB) = d (A)d(B) ； d(d (A) Ad(A) ；12、设X,Y是拓扑空间，映射f：XY在以下 条件下不一定连续。Y是平庸空间; X是离散空间; 存在yY，对任何xX , f(x) = y; Y是实数空间。13、设X是拓扑空间，Y是X的子空间，以下结论 不正确。 分别记T和T * 是X,Y的拓扑，则T * =T |Y ； 分别记F和F * 是X,Y的闭集族，则F * =F |Y ； 分别记B和B * 是X,Y的基，则B * =B|Y ； 如果yY ，V y 是y在X中的邻域基，则V y|Y是y在Y中的邻域基。14、离散拓扑空间是 空间。 紧致； Lindeloff； 可分； 可度量化。 15、以下结论正确的是 。 Hausdorff空间是T1 空间； Hausdorff空间是正则空间； 完全正则空间是正规空间； 完全正则空间是Tychonoff空间。16、以下结论 不正确。 A2空间是Lindeloff空间； A2空间是可分空间； 可分的度量