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1、对称问题与最值问题重点列表：重点名称重要指数重点1关于点对称问题重点2关于直线对问题重点3与圆有关的最值问题重点详解： 重点1：关于点对称问题【要点解读】1. 已知，线段的中点，则，.2. 关于点对称问题（1） 点关于点对称点问题：因是线段的中点，故利用中点公式求解，即关于）的对称点.（2） 曲线关于点的对称曲线问题：利用相关点法和中点公式求解，即曲线关于点的对称曲线.【考向1】点关于点对称问题【例1】【2016-2017学年四川三台中学高二上期】已知直线l与直线y1，xy70分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，1)，那么直线l的斜率为_【答案】【解析】设，线段的中点坐标为、，从而
2、代入斜率公式求得直线的斜率为【名师点睛】对于点关点对称问题，常利用中点公式求解.【考向2】曲线关于点对称问题【例2】【2016-2017学年四川雅安中学高二上月考一】圆关于原点对称的圆的方程为（ ）A BC D【答案】C【名师点睛】对于圆关于点对称问题，有两种思路，思路1：利用圆关于点对称的特征，即圆心关于点对称，半径不变求解，先利用中点公式求出已知圆心关于已知点的对称点，即为所求圆的圆心，即可写出圆的方程. 重点2：关于直线对称问题【要点解读】1.关于直线对称问题（1）点关于线的对称：设对称轴对称点对称轴对称点轴轴（2）点关于直线：的对称点的问题设点A关于直线的对称点（），利用，线段的中点（
3、）在上，可列方程如下：，解出即可.（3） 曲线于直线：的曲线问题 利用相关点法求解，即设对称曲线上任意一点为，利用点关于直线对称的求法，求出点关于直线的对称点，代入已知曲线方程方程即可求出所求曲线方程.【考向1】点关于直线对称问题【例2】【2016-2017学年山西榆社中学高二上期中】已知关于直线对称的点为，则满足的直线方程为（ ）A B C D【答案】D【名师点睛】点关于直线对称问题，常设出对称点的坐标，利用对称点的中点在对称轴上，两个对称点的连线与对称轴垂直，列出关于所求点坐标的方程，解出方程组的解即为对称点的坐标.【考向2】直线关于直线对称问题【例2】【2014-2015学年四川省绵阳南
4、山中学高二10月月考】中,边上的中线所在直线方程为,的平分线方程为.（1）求顶点的坐标；（2）求直线的方程.【答案】（1）； （2）2x+9y-65=0.【解析】（1）设，则的中点在直线上. 又点在直线上，则 由 可得，即点的坐标为.设点关于直线的对称点的坐标为，则点在直线上.由题知得，所以直线的方程为.【名师点睛】直线关于直线的对称直线问题，思路1：在已知直线找两点，求出这两点关于对称轴的对称点，再利用直线的两点式方程即可求出所求直线的方程；思路2：利用相关点法，即所求直线上任意点的坐标为，利用点对称的知识，求出该点关于对称轴的对称点，代入已知直线方程，即可求出所求直线方程.【考向3】圆关于
5、直线对称问题【例3】【2016-2017学年江西上高县二中高二文9月月考】圆关于直线对称的圆的方程为（ ）A BC D【答案】A【考向4】反射问题【例4】【2015-2016学年贵州遵义航天高中高二上学期期中】设入射光线沿直线 y=2x+1 射向直线 y=x， 则被y=x 反射后，反射光线所在的直线方程是（ ）Ax+2y+3=0 Bx-2y+1=0 C3x-2y+1=0 Dx-2y-1=0【答案】D【解析】入射光线和反射光线关于直线y=x对称，所以设入射光线上的任意两个点（0，1），（1，3）其关于直线y=x对称的两个点的坐标分别为（1，0），（3，1）且这两个点在反射光线上，由两点式可求出反
6、射光线所在的直线方程为 x-2y-1=0【名师点睛】反射问题，利用反射角等于入射角可得反射光线与入射光线关于反射面对称，转化为线线对称问题处理.【考向5】对称在求最值中的应用.【例5】【2015-2016学年吉林毓文中学高一上期末】已知圆：，圆：，点、分别是圆、圆上的动点，为轴上的动点，则的最大值是（ ）A B9 C7 D【答案】B【解析】圆的圆心，半径为，圆的圆心，半径是要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是;关于轴的对称点，故 的最大值为 ，故选：B【名师点评】先根据两圆的方程求出圆心和半径，要使最大，需最大，且最小，最大值为的最小值为，故最大值是，再利用对称性，求出所求
7、式子的最大值 重点3：与圆有关的最值问题【要点解读】 1.对已知含参数直线与圆的位置关系，求直线方程中参数取值范围问题，常用画出圆图像，利用直线过定点，结合图像即可确定直线方程中满足的条件，利用直线与圆的位置关系和点到直线的距离公式，列出关于参数的不等式或方程，即可求出参数的范围. 2.对已知点满足与圆有关的某个条件，求圆中参数或点的坐标的取值范围问题，作出相应的图形，利用数形结合思想找出圆中相关量，如圆心坐标、圆心到某点距离、圆的半径、圆的弦长或圆的弦心距等满足的条件，列出不等式或方程或函数关系，再利用相关方法求出参数的范围. 3.与圆有关的长度最值问题有以下题型：圆外一点到圆上距离最近为，
8、最远为；过圆内一点的弦最长为圆的直径，最短为该点为中点的弦；直线与圆相离，则圆上点到直线的最短距离为圆心到直线的距离，最近为；过两定点的所有圆中，面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆的面积.圆上动点与其他曲线两动点间的距离最值问题常转化为圆心与曲线上的动点距离问题，利用两点间距离公式转化二元函数的最值问题，利用消元法转化一元函数在某个区间上的最值问题求解. 4.与圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解. 5.对圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题，有三种解
9、题思路，思路1：充分利用所给式子的几何意义，利用数形结合思想解题；思路2：设所给式子等于z，代入圆的方程化为一元二次方程，利用判别式即可求出参数的范围；思路3：利用圆的参数方程或消元法化为函数问题，利用函数求最值的方法求最值,注意留下变量的范围【考向1】圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题【例1】【2016-2017学年重庆市万州二中高二文上期中】如果实数满足等式 ，那么的取值范围是_.【答案】【解析】设，则表示经过点的直线，为直线的斜率，所以求的取值范围就等价于求同时经过点和圆上的点的直线中斜率的最大值与最小值，从图中可知，当过点的直线与圆相切时取最大值和最小值，此时对应的直线斜率分别
10、为和，其中不存在，由圆心到直线的距离，解得，则的取值范围是.【方法点晴】对圆上点的坐标满足关系式的最值或取值范围问题，有三种解题思路，思路1：充分利用所给式子的几何意义，利用数形结合思想解题；思路2：设所给式子等于z，代入圆的方程化为一元二次方程，利用判别式即可求出参数的范围；思路3：利用圆的参数方程或消元法化为函数问题，利用函数求最值的方法求最值,注意留下变量的范围.【考向2】圆的弦的最值问题【例2】【2016-2017学年安徽安庆一中高二文上期中】已知圆的方程为 是该圆内一点，过点的最长弦和最短弦分别为和，则四边形的面积是（ ）A. B. C. D.【答案】D【名师点睛】过圆内一点弦长的最
11、值问题，常利用垂径定理，转化为弦心距最值问题，即过圆心时，弦长最大，该点为弦的中点时，弦长最小来求解.【考向3】分别在两圆上两点之间的最小值问题【例3】【2016-2017学年海南嘉积中学高二上月考一】已知点在圆上，点在圆上，则的最小值是_【答案】【方法点晴】解决解析几何的最值问题一般有两种方法：一是几何意义，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来解决，非常巧妙；二是将解析几何中最值问题转化为函数问题，然后根据函数的特征选用参数法、配方法、判别式法、三角函数有界法、函数单调性法以及均值不等式法，本题就是利用圆的几何性质，将的最小值转化两圆心的距离减半径解答的.【考向4】圆的面积最值问题【
12、例4】【2016-2017学年湖北荆州公安县车胤中学高二理上期中】已知圆和定点，由圆外一点向圆引切线，切点为，且满足（1）求实数间满足的等量关系；（2）若以为圆心的圆与圆有公共点，试求圆的半径最小时圆的方程；（3）当点的位置发生变化时，直线是否过定点，如果是，求出定点坐标，如果不是，说明理由.【答案】（1）（2）（3）过定点【解析】（1）连为切点，由勾股定理有.又由已知，故.即：.化简得实数间满足的等量关系为：. （2）解法1：设圆的半径为，圆与圆有公共点，圆的半径为1，即且.而，故当时，此时, ，.得半径取最小值时圆的方程为 解法2： 圆与圆有公共点，圆半径最小时为与圆外切（取小者）的情形，
13、而这些半径的最小值为圆心到直线的距离减去1，圆心为过原点与垂直的直线与的交点 . 又 直线的方程为解方程组，得.即 所以，所求圆方程为. （3） 化简得，同理所以，直线MQ的方程为 ，代入上式得【名师点睛】圆的面积的最值问题，一般转化为寻求圆的半径相关的函数关系或者几何图形的关系，借助函数求最值的方法，如配方法，基本不等式法等求解，有时可以通过转化思想，利用数形结合思想求解.【考向5】直线上点与圆上点的最小值问题.【例5】【2016-2017学年湖北咸丰一中高二文上学期期中】为圆上的点，为直线上的点，则线段长度的最小值为（ ）A. B.2 C. D.1【答案】C【解析】圆的圆心到直线的距离为，
14、所以点是圆上的点，点是直线上的点，则线段长度的最小值为，故选C.【方法点睛】直线上点与圆上点的最小值问题，利用数形结合思想转化为圆心到直线距离的最值问题，圆心到直线的距离加半径为最大值，减半径为最小值.【考向6】与圆有关的轨迹问题【例6】【2015-2016学年湖北孝感高中高二5月调研二】已知圆：，过原点作圆的弦，则弦的中点的轨迹方程为 【答案】【方法点睛】求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标法”将其转化为寻求变量间的关系. 求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法、待定系数法1.【2016-2017学年四川雅安中学高二上月考一】如图所示，已知A(4,0)，B(0,4)，从点P(2,0)射出的光线经直线AB反射后再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过
