第一讲数形结合思想.doc

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1、第一讲 数形结合思想专题剖析 数形结合法是根据数学问题的的条件与结论之间的内在联系，即分析其代数含义、对揭示其几何意义、使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，并充分利用这种“结合”寻找解题途径，使问题得到解决，它包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面。数形结合思想是解答高考数学试题的一种常用方法和技巧。在近几年高考大小题中占有非常重要的地位，特别是在解决选择题、填空题时发挥着奇特的功效。数形结合思想在高考中占有非常重要的地位，其“数”与“形”结合，相互渗透，把代数式的精确刻划与几何图形的直观描述相结合，使代数问题，几何问题相互转化，使抽象思维和形象思维有机结合，应用数形结合思想，就是充分考察

2、数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义又揭示其几何意义，将数量关系和空间形式巧妙结合，来寻找解题思路，使问题得到解决，运用这一数学思想，要熟练掌握一些概念和运算的几何意义及常见曲线的代数特征。应用数形结合的思想，应注意以下数与形的转化：（1） 集合的运算及韦恩图（2） 函数及其图像（3） 数列通项及求和公式的函数特征及函数图象（4） 方程（多指二元方程）及方程的曲线以形助数常用的有：借助数轴；借助函数图像；借助单位圆；借助数式的结构特征；借助于解析几何方法。以数助形常用的有：借助几何轨迹所遵循的数量关系；借助于运算结果与几何定理的结合。经典例题透析类型一：利用数形结合思想解决函数

3、问题1(2010全国理)已知函数，若，且，则a+2b的取值范围是A B C D解析：画出的示意图.由题设有 ， ，令 ，则 ， ， . 在上是增函数. .选C.举一反三：【变式1】已知函数在0x1时有最大值2，求a的值。解析：，抛物线的开口向下，对称轴是，如图所示： （1） （2） （3）（1）当a0时，如图（1）所示， 当x=0时，y有最大值，即。 1a=2。即a=1，适合a0。（2）当0a1时，如图（2）所示， 当x=a时，y有最大值，即。 a2a+1=2，解得。 0a1，不合题意。（3）当a1时，如图（3）所示。 当x=1时，y有最大值，即。a=2。综合（1）（2）（3）可知，a的值是1

4、或2【变式2】已知函数。（）写出的单调区间；（）设，求在0，a上的最大值。解析：如图：（1）的单调增区间：，；单调减区间：（1，2）（2）当a1时， 当时， 当，。【变式3】已知()（1）若，在上的最大值为，最小值为，求证：；（2）当，时，对于给定的负数，有一个最大的正数，使得x0, 时，都 有|f(x)|5，问a为何值时，M(a)最大？并求出这个最大值。解析：（1）若a=0，则c=0，f(x)=2bx 当-2x2时，f(x)的最大值与最小值一定互为相反数，与题意不符合，a0； 若a0，假设， 区间-2,2在对称轴的左外侧或右外侧， f(x)在-2，2上是单调函数， （这是不可能的） （2）当

5、，时， ，所以， （图1） （图2） (1)当即，时（如图1），则所以是方程的较小根，即 (2)当即，时（如图2），则所以是方程的较大根，即（当且仅当时，等号成立），由于，因此当且仅当时，取最大值类型二：利用数形结合思想解决方程中的参数问题2若关于x的方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围。思路点拨：将方程的左右两边分别看作两个函数，画出函数的图象，借助图象间的关系后求解，可简化运算。解析：画出和的图象，当直线过点，即时，两图象有两个交点。又由当曲线与曲线相切时，二者只有一个交点，设切点，则，即，解得切点，又直线过切点，得，当时，两函数图象有两个交点，即方程有两个不等实根。误区警示：作图时

6、，图形的相对位置关系不准确，易造成结果错误。总结升华：1解决这类问题时要准确画出函数图象，注意函数的定义域。2用图象法讨论方程（特别是含参数的方程）解的个数是一种行之有效的方法，值得注意的是首先把 方程两边的代数式看作是两个函数的表达式（有时可能先作适当调整，以便于作图），然后作出两 个函数的图象，由图求解。3在运用数形结合思想分析问题和解决问题时，需做到以下四点： 要准确理解一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征； 要恰当设参，合理用参，建立关系，做好转化； 要正确确定参数的取值范围，以防重复和遗漏； 精心联想“数”与“形”，使一些较难解决的代数问题几何化，几何问题代数化，便于问题求解.

7、举一反三：【变式1】若关于x的方程在（1，1）内有1个实根，则k的取值范围是 。解析：把方程左、右两侧看作两个函数，利用函数图象公共点的个数来确定方程根的个数。设（x1，1）如图：当或时，关于x的方程在（1，1）内有1个实根。【变式2】若02，且方程有两个不同的实数根，求实数m的取值范围及这两个实根的和。解析：将原方程转化为三角函数的图象与直线有两个不同的交点时，求a的范围及+的值。设，在同一坐标中作出这两个函数的图象由图可知，当或时，y1与y2的图象有两个不同交点，即对应方程有两个不同的实数根，若，设原方程的一个根为，则另一个根为.若，设原方程的一个根为，则另一个根为，.所以这两个实根的和为

8、或.且由对称性可知，这两个实根的和为或。类型三：依据式子的结构，赋予式子恰当的几何意义，数形结合解答3(北京2010理)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动，设顶点的轨迹方程是，则函数的最小正周期为_；在其两个相邻零点间的图象与x轴所围成的区域的面积为_.解析：为便于观察，不妨先将正方形PABC向负方向滚动，使P点落在x轴上的点，此点即是函数的一个零点（图1）.（一）以A为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90，此时顶点B位于x轴上，顶点P画出了A为圆心，1为半径的个圆周（图2）；（二）继续以B为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90，此时顶点C位于x轴上，顶点P画出B为圆心，为半径的个圆周（

9、图3）；（三）继续以C为中心，将正方形沿x轴正方向滚动90，此时，顶点P位于x轴上，为点，它画出了C为圆心，1为半径的个圆周（图4）.为又一个零点. 函数的周期为4.相邻两个零点间的图形与x轴围成的图形由两个半径为1的圆、半径为的圆和两个直角边长为1的直角三角形，其面积是.举一反三：【变式1】已知圆C：(x+2)2+y2=1，P（x，y）为圆C上任一点。（1）求的最大、最小值；（2）求的最大、最小值；（3）求x2y的最大、最小值。解析：联想所求代数式的几何意义，再画出草图，结合图象求解。（1）表示点（x，y）与原点的距离， 由题意知P（x，y）在圆C上，又C（2，0），半径r=1。 |OC|=

10、2。 的最大值为2+r=2+1=3， 的最小值为2r=21=1。（2）表示点（x，y）与定点（1，2）两点连线的斜率， 设Q（1，2），过Q点作圆C的两条切线，如图： 将整理得kxy+2k=0。 ，解得， 所以的最大值为，最小值为。（3）令x2y=u，则可视为一组平行线系， 当直线与圆C有公共点时，可求得u的范围， 最值必在直线与圆C相切时取得。这时， 。 x2y的最大值为，最小值为。【变式2】求函数的最小值。解析：则y看作点P（x，0）到点A（1，1）与B（3，2）距离之和如图，点A（1，1）关于x轴的对称点A（1，1），则即为P到A，B距离之和的最小值，【变式3】若方程x2+(1+a)x+

11、1+a+b=0的两根分别为椭圆、双曲线的离心率，则的取值范围是（ ）A B或 C D或解析：如图由题知方程的根，一个在（0，1）之间，一个在（1，2）之间，则 ，即下面利用线性规划的知识，则可看作可行域内的点与原点O（0，0）连线的斜率则 ，选C。高考再现（2009年江西卷）若不等式的解集为区间，且，则= . 分析:本题主要考查解不等式、直线过定点问题，我们可以在同一坐标系下作出，的图像，根据图像确定的值。x-330（-2，）y解：令，在同一个坐标系中作出其图像，因的解集为区间，且，结合图像知=3、=1即直线与圆的交点坐标为。 =（2009年重庆卷）已知以T=4为周期的函数其中m0，若方程恰有5个实数解，则m的取值范围为（ ） 分析:本题主要考查函数图像的交点及直线与曲线的位值关系，我们先在一个周期内可利用导数判断的单调性和极点进而画出第一段函数图像、通过平移和翻转画第二段函数图像，再根据周期性扩展图象，根据图象解题。YX-112345678901234解：根据的解析式可作出的图象，如图所示，恰有5个实数解，由图象知：当时，与有两个交点，即方程有两个根。0当时，与无交点, 即方程无根. 0 由、得 选B（2009年海南卷）用min，表示、三个数中的最小值，设（0），则的最大值为（ ）A