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1、等差数列的前 n 项和与等比数列 一、一周知识概述 本周主要学习等差数列前 n项和公式与等比数列，共安排五课时，其中求和公式及等差数列性质的综合运用3课时，等比数列两课时通过学习，使同学们了解等差数列前n项和公式推导过程（倒序求和），理解等比数列的概念，掌握等差数列前n项和公式的两种不同形式及等比数列的通项公式，并能利用它们解决一些实际问题，培养学生对数学的理解能力，观察能力以及对数学公式的应用能力和分析问题、解决问题的能力 二、重点知识归纳及讲解 1、等差数列前n项和Sn的表示形式： 可见： （1）当d0时，Sn是关于序号n的二次函数，且二次函数的常数项c=0，其公差d=2a（二次项系数的二
2、倍），点（n，Sn）分布在过原点，对称轴垂直于x轴的抛物线上. （2）， 数列为等差数列且公差d=a，点均匀分布在直线y=axb上.2、当n为奇数时，Sn=na中 （a中 为前 n项中的中间项）， S奇S偶=a中（S奇为前n项中所有奇数项的和）， . 当 n为偶数时，为中间两项）， 3、等比数列的定义可用递推公式表示为：（nN*，q为常数）. 可见： （1）等比数列中每一项不为零（即an0）. （2）等比数列公比q0. （3）非零常数列既是等差数列，又是等比数列，其公差d=0，公比q=1. 4、等比数列通项公式：an=a1qn1. 5、等比中项：若a、G、b为等比数列，则G为a、b的等比中项.
3、 可见： （1）G为a、b的等比中项（G0）. （2）仅当a、b同号时，才存在等比中项. （3）等比中项G不唯一，即. （4）G2=ab是a、G、b成等比数列的必要条件，并不是充分条件. 6、等比数列的相关结论 （1）任两项之间的关系：am=anqmn. （2）相邻三项之间的关系：an1an1=an2. （3）若q1，则. 三、难点知识剖析 1、等差数列前n项和Sn是关于n的二次函数（d0），而且常数项为零，这是等差数列前n项和公式的形式特征，我们可以根据这个特征，判断不可能是等差数列的前n项和，利用Sn=an2bn有时可使计算更简便. 2、在解决等差数列、等比数列有关问题时，涉及的五个量an
4、，n，d，a1，Sn通过方程组知三可求二. 3、前n项和Sn与通项an的关系是：Sn=a1a2an 由 Sn求an一定要讨论n=1，然后进行综合. 例 1 、在等差数列 an中， （1）已知a15=33，a45=153，求a61； （2）已知S8=48，S12=168，求S4； （3）已知a1a4a8a12a15=2，求S15； （4）已知S7=42，Sn=510，an3=45，求n. 解析：（1） a45 a15=30d=153 33 得 d=4 ， a61=a4516d=217. （2）方法 1 S4 ， S8 S4 ， S12 S8 成等差数列， 则 S4 （168 48） =2（48
5、S4）解得 S4= 8 方法 2 成等差数列，则 ， d=2. 故 . 则 S4= 8. （3） （4） S7=7a4=42 a4=6 n=20 例 2 、已知数列 an的前n项和，求数列|an|的前n项和Sn. 解析： an=63 3n0 有 n 21 误解一=误解二例 3 、设数列 an的首项a1=1，前n项之和Sn满足关系式：3tSn(2t3)Sn1=3t（t0，n=2，3，4） （1）求证：数列an为等比数列； （2）设数列an的公比为f(t)，作数列bn，使（n=2，3，4，），求bn. （3）求和：b1b2b2b3b3b4(1)n1bnbn1. 解析：（1） n2 时 an 为等比
6、数列 . （2）则 bn 为等差数列，而 b1=1. （3）. 当 n 为偶数时， 当 n 为奇数时 例 4、 一个水池有若干出水量相同的水龙头，如果所有水龙头同时放水，那么 24分钟可注满水池，如果开始时，全部放开，以后每隔相等的时间关闭一个水龙头，到最后一个水龙头关闭时，恰好注满水池，而且最后一个水龙头放水的时间恰好是第一个水龙头放水时间的5倍，问最后关闭的这个水龙头放水多少时间？ 解析：设有 n 个水龙头，每个水龙头放水时间依次为 x1 ， x2 ， x3 ， xn ，则数列 xn 为等差数列且每个水龙头 1 分钟放水池水， 故最后关闭的水龙头放水时间为 40 分钟 . 例 5 、在 X
7、OY平面上有一个点列P1（a1，b1），P2（a2，b2），Pn（an，bn），对每个自然数n，点Pn位于函数y=2000（0a10）的图象上，且点Pn，点（n，0）与点（n1，0）构成一个以Pn为顶点的等腰三角形. （1）求点Pn的纵坐标bn的表达式； （2）若对每个自然数n，以bn，bn1，bn2为边长能构成一个三角形，求a的取值范围； （3）设Bn=b1b2bn（n N* ）.若a取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列Bn的最大项的项数. 解析：（1）. （2） 0a10 ，则 0. 要使 bn ， bn1 ， bn2 为边能构成三角形， （3）故 Bn 中最大项的项数为 n=20.
