新版高中数学 第二章 变化率与导数综合测试 北师大版选修22

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1、新版数学北师大版精品资料【成才之路】高中数学 第二章 变化率与导数综合测试 北师大版选修2-2时间120分钟,满分150分一、选择题(本大题共10个小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1曲线yex在点A(0,1)处的切线斜率为()A1 B 2 Ce D答案A解析根据导数的几何意义可得,ky|x0e01.2已知使函数yx3ax2a的导数为0的x值也使y值为0,则常数a的值为()A0 B3C0或3 D非以上答案答案C解析求出使y0的值的集合,再逐一检验y3x22ax.令y0,得x0或xA由题设x0时,y0,故a0,则a0.且知当x2,a3或x2,a3时,

2、也成立故选C3设f(x)为可导函数,且满足条件 1,则曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为()A1 B2C1 D2答案B解析因为f(x)为可导函数,且 1,所以 1,所以2,即f(1)2,所以yf(x)在点(1,f(1)处的切线斜率为2.4运动方程为s2t2,则t2的速度为()A4 B8C10 D12答案B解析本题考查导数的物理意义,求导过程应注意对求导公式和求导法则的灵活应用s2t22t2t2t12t2,s2t3t24t.v2428,故选B.5函数yf(x)的图象过原点且它的导函数yf(x)的图像是如图所示的一条直线,则yf(x)的图像的顶点在()A第象限B第象限C第象限D第象限

3、答案A解析显然yf(x)为二次函数,设为f(x)ax2bxc(a0),则yf(x)2axb.由图像知a0.又由已知函数的图像过原点,c0,顶点为(,),因而yf(x)的顶点在第象限6若函数y在xx0处的导数值与函数值互为相反数,则x0的值()A等于0 B等于1C等于 D不存在答案C解析y,当xx0时,y,y.由题意,知yy0,即ex0(x01)ex0x00,所以x0.7.(2014邹城一中月考,9)已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8,则曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线方程是()Ay2x1 ByxCy3x2 Dy2x3答案A解析f(x)2f(2x)x28x8,f(2

4、x)2f(x)(2x)28(2x)82f(x)x24x4.将代入,得f(x)4f(x)2x28x8x28x8.f(x)x2,y2x.yf(x)在(1,f(1)处的切线斜率为y|x12.函数yf(x)在(1,f(1)处的切线方程为y12(x1),即y2x1.8.设函数f(x)x3x2tan,其中,则导数f(1)的取值范围是()A2,2 B,C,2 D,2答案D解析f(x)x2sinxcos,f(1)sincos2sin(),0,sin(),1,f(1),2故选D.9若曲线xya(a0),则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是()A2a2 Ba2C2|a| D|a|答案C解析设切

5、点的坐标为(x0,y0),曲线的方程即为y,y,故切线斜率为,切线方程为y(xx0)令y0得x2x0,即切线与x轴的交点坐标为(2x0,0);令x0得y,即切线与y轴的交点坐标为.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为|2x0|2|a|.10若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切,则a等于()A1或 B1或C或 D或7答案A解析考查导数的应用,求曲线的切线方程问题设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0,x),所以切线方程为yx3x(xx0),即y3xx2x,又(1,0)在切线上,则x00或x0.x00时,由y0与yax2x9相切得a当x0时,由yx与yax2x9相切得a

6、1,所以选A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11已知曲线yx3,则在点P(2,3)的切线方程是_答案4xy40解析yx2,当x2时,y4.切线的斜率为4.切线的方程为y34(x2),即4xy50.12球的半径从1增加到3时,球的体积平均膨胀率为_答案解析y3313,V.13设f(x)是偶函数,若曲线yf(x)在点(1,f(1)处的切线的斜率为1,则该曲线在点(1,f(1)处的切线的斜率为_答案1解析考查偶函数性质偶函数图像关于y轴对称,则曲线上关于y轴对称的两点的切线也关于y轴对称,斜率互为相反数斜率为1.14已知0x,f(x)x2,g(x),则f(x)与g(x)的大小关系是

7、_答案f(x)g(x)解析由题意,得f(x)2x,g(x).由0x,知0f(x)1,故f(x)0)的交点为P,过点P的曲线C的切线与x轴交于点Q(a,0),求a的值解析依题意,解得P(a,a33a),y3x23所以过点P的曲线C的切线方程为:y(a33a)(3a23)(xa)令y0得切线与x轴的交点为(,0)则有a解得a或a0,由已知a0,a.18已知曲线C1:yx2与C2:y(x2)2,直线l与C1、C2都相切求直线l的方程解析设l与C1相切于点P(x1,x),与C2相切于点Q(x2,(x22)2)对于C1,y2x,则与C1相切于点P的切线方程为yx2x1(xx1),即y2x1xx.对于C2

8、,y2(x2),则与C2相切于点Q的切线方程为y(x22)22(x22)(xx2),即y2(x22)xx4.两切线重合,解得或,直线l的方程为y0或y4x4.19.(1)求曲线yf(x)x32x在点(1,1)处的切线方程;(2)过曲线yf(x)x32x上的点(1,1)的切线方程分析要注意(1)(2)中的不同之处,在点(1,1)处的切线方程即(1,1)为切点,而过点(1,1)的切线方程中切点需设出后,再利用导数的几何意义(可利用斜率相等),求出切点坐标后再求切线方程解析(1)由题意f(x)3x22,f(1)1,点(1,1)处的切线的斜率k1,其方程为y1x1,即xy20.(2)设切点为(x0,y

9、0),则y0x2x0,则切点处的导数值f(x0)3x2;若点(1,1)为切点,由(1)知切线方程为xy20;若点(1,1)不为切点,则3x2(x01),即3x2,3x2x03x1x2x0.2x3x10,即(x01)(2xx01)0.x01或x0,其中x01舍去则切点坐标为(,),斜率为f()3()22.切线方程为5x4y10.过点(1,1)的切线方程为xy20或5x4y10.点评利用导数求切线方程时要注意:求在点P(x0,y0)处的切线方程,与经过点P(x0,y0)的切线方程求法不同,后者需要先把切点设出来20.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x0时,f(x)2x2.(1)求x0时,f(x

10、)的表达式;(2)令g(x)lnx,问是否存在x0,使得f(x),g(x)在xx0处的切线互相平行?若存在,请求出x0的值;若不存在,请说明理由解析(1)当x0,f(x)f(x)2(x)22x2.(2)若f(x),g(x)在x0处的切线互相平行,则f(x0)g(x0),且x00,故f(x0)4x0g(x0),解得x0.x00,x0.21.已知函数f(x)x3ax2b(a,bR),若x0,1,f(x)图像上任意一点处切线的斜率为k,当|k|1时,求a的范围解析f(x)3x22ax,kf(x)3x22ax.由|k|1知|3x22ax|1(0x1),即|3(x)2|1在x0,1上恒成立又f(0)0,当0,即a1,即a3时,32a1得a2,此时无解综上知1a,a的范围为1,

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