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1、新版数学北师大版精品资料【成才之路】高中数学 第二章 变化率与导数综合测试 北师大版选修2-2时间120分钟，满分150分一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1曲线yex在点A(0,1)处的切线斜率为()A1 B 2 Ce D答案A解析根据导数的几何意义可得，ky|x0e01.2已知使函数yx3ax2a的导数为0的x值也使y值为0，则常数a的值为()A0 B3C0或3 D非以上答案答案C解析求出使y0的值的集合，再逐一检验y3x22ax.令y0，得x0或xA由题设x0时，y0，故a0，则a0.且知当x2，a3或x2，a3时，
2、也成立故选C3设f(x)为可导函数，且满足条件 1，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为()A1 B2C1 D2答案B解析因为f(x)为可导函数，且 1，所以 1，所以2，即f(1)2，所以yf(x)在点(1，f(1)处的切线斜率为2.4运动方程为s2t2，则t2的速度为()A4 B8C10 D12答案B解析本题考查导数的物理意义，求导过程应注意对求导公式和求导法则的灵活应用s2t22t2t2t12t2，s2t3t24t.v2428，故选B.5函数yf(x)的图象过原点且它的导函数yf(x)的图像是如图所示的一条直线，则yf(x)的图像的顶点在()A第象限B第象限C第象限D第象限
3、答案A解析显然yf(x)为二次函数，设为f(x)ax2bxc(a0)，则yf(x)2axb.由图像知a0.又由已知函数的图像过原点，c0，顶点为(，)，因而yf(x)的顶点在第象限6若函数y在xx0处的导数值与函数值互为相反数，则x0的值()A等于0 B等于1C等于 D不存在答案C解析y，当xx0时，y，y.由题意，知yy0，即ex0(x01)ex0x00，所以x0.7.(2014邹城一中月考，9)已知函数f(x)在R上满足f(x)2f(2x)x28x8，则曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程是()Ay2x1 ByxCy3x2 Dy2x3答案A解析f(x)2f(2x)x28x8，f(2
4、x)2f(x)(2x)28(2x)82f(x)x24x4.将代入，得f(x)4f(x)2x28x8x28x8.f(x)x2，y2x.yf(x)在(1，f(1)处的切线斜率为y|x12.函数yf(x)在(1，f(1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1.8.设函数f(x)x3x2tan，其中，则导数f(1)的取值范围是()A2,2 B，C，2 D，2答案D解析f(x)x2sinxcos，f(1)sincos2sin()，0，sin()，1，f(1)，2故选D.9若曲线xya(a0)，则过曲线上任意一点的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积是()A2a2 Ba2C2|a| D|a|答案C解析设切
5、点的坐标为(x0，y0)，曲线的方程即为y，y，故切线斜率为，切线方程为y(xx0)令y0得x2x0，即切线与x轴的交点坐标为(2x0,0)；令x0得y，即切线与y轴的交点坐标为.故切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为|2x0|2|a|.10若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a等于()A1或 B1或C或 D或7答案A解析考查导数的应用，求曲线的切线方程问题设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0.x00时，由y0与yax2x9相切得a当x0时，由yx与yax2x9相切得a
6、1，所以选A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分)11已知曲线yx3，则在点P(2,3)的切线方程是_答案4xy40解析yx2，当x2时，y4.切线的斜率为4.切线的方程为y34(x2)，即4xy50.12球的半径从1增加到3时，球的体积平均膨胀率为_答案解析y3313，V.13设f(x)是偶函数，若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线的斜率为1，则该曲线在点(1，f(1)处的切线的斜率为_答案1解析考查偶函数性质偶函数图像关于y轴对称，则曲线上关于y轴对称的两点的切线也关于y轴对称，斜率互为相反数斜率为1.14已知0x，f(x)x2，g(x)，则f(x)与g(x)的大小关系是
7、_答案f(x)g(x)解析由题意，得f(x)2x，g(x).由0x，知0f(x)1，故f(x)0)的交点为P，过点P的曲线C的切线与x轴交于点Q(a,0)，求a的值解析依题意，解得P(a，a33a)，y3x23所以过点P的曲线C的切线方程为：y(a33a)(3a23)(xa)令y0得切线与x轴的交点为(，0)则有a解得a或a0，由已知a0，a.18已知曲线C1：yx2与C2：y(x2)2，直线l与C1、C2都相切求直线l的方程解析设l与C1相切于点P(x1，x)，与C2相切于点Q(x2，(x22)2)对于C1，y2x，则与C1相切于点P的切线方程为yx2x1(xx1)，即y2x1xx.对于C2
8、，y2(x2)，则与C2相切于点Q的切线方程为y(x22)22(x22)(xx2)，即y2(x22)xx4.两切线重合，解得或，直线l的方程为y0或y4x4.19.(1)求曲线yf(x)x32x在点(1，1)处的切线方程；(2)过曲线yf(x)x32x上的点(1，1)的切线方程分析要注意(1)(2)中的不同之处，在点(1，1)处的切线方程即(1，1)为切点，而过点(1，1)的切线方程中切点需设出后，再利用导数的几何意义(可利用斜率相等)，求出切点坐标后再求切线方程解析(1)由题意f(x)3x22，f(1)1，点(1，1)处的切线的斜率k1，其方程为y1x1，即xy20.(2)设切点为(x0，y
9、0)，则y0x2x0，则切点处的导数值f(x0)3x2；若点(1，1)为切点，由(1)知切线方程为xy20；若点(1，1)不为切点，则3x2(x01)，即3x2，3x2x03x1x2x0.2x3x10，即(x01)(2xx01)0.x01或x0，其中x01舍去则切点坐标为(，)，斜率为f()3()22.切线方程为5x4y10.过点(1，1)的切线方程为xy20或5x4y10.点评利用导数求切线方程时要注意：求在点P(x0，y0)处的切线方程，与经过点P(x0，y0)的切线方程求法不同，后者需要先把切点设出来20.设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x2.(1)求x0时，f(x
10、)的表达式；(2)令g(x)lnx，问是否存在x0，使得f(x)，g(x)在xx0处的切线互相平行？若存在，请求出x0的值；若不存在，请说明理由解析(1)当x0，f(x)f(x)2(x)22x2.(2)若f(x)，g(x)在x0处的切线互相平行，则f(x0)g(x0)，且x00，故f(x0)4x0g(x0)，解得x0.x00，x0.21.已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)，若x0,1，f(x)图像上任意一点处切线的斜率为k，当|k|1时，求a的范围解析f(x)3x22ax，kf(x)3x22ax.由|k|1知|3x22ax|1(0x1)，即|3(x)2|1在x0,1上恒成立又f(0)0，当0，即a1，即a3时，32a1得a2，此时无解综上知1a，a的范围为1，
