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1、第三章 命题逻辑1、 判断下列语句是否是命题,如果是命题,指出其真值： （1）是无理数； (2) 存在最大质数；（1） 中国是一个人口众多的国家；（2） 这座楼真高啊！（3） 你喜欢“蓝色的多瑙河”吗？（4） 请你关上门。（5） 地球以外的星球上也有人。解（1）是命题，真值为1。（1） 是命题，真值为0。（2） 是命题，真值为1。（3） 、（5）、（6）均不是命题。（6） 是命题，真值是惟一的，迟早会被指出。说明 要判断一个语句是否是命题，首先要判断它是否是陈述句，然后再判断它的真值是否是惟一的。本题中，（4）、（5）、（6）均不是陈述句，无法分辨其真假，故都不是命题。陈述句不一定是命题，这里
2、的关键是：客观上有无真假可言，而不以主观能否判断为标准。2、 将下列命题符号化，并确定其真值：（1） 5不是偶数；（2） 天气炎热但湿度较低；（3） 2+3=5或者他游泳；（4） 如果a和b是偶数，则a+b是偶数；（5） 2+2=4，当且仅当3是奇数。解（1）设P：5是偶数。则（1）是：，真值为1。 （2）设P：天气炎热。Q：湿度较低。则（2）是：PQ。 显然，只有在既炎热又湿度较低的情况下，PQ的真值为1，否则，其真值皆为0。 （3）设P：2+3=5。Q：他游泳。则（3）是：PQ，真值为1。 （4）设P：a和b是偶数。Q：a+b是偶数。则（4）是PQ，真值为1。（5）设P：2+2=4。Q：3
3、是奇数。则（5）是：PQ，真值为1。3、 设命题P，Q的真值为1，命题R，S的真值为0，试确定下面命题的真值：（1） G=（PQR）（PQ）（RS）；（2） G=（PQ）R）（PQ）R）S）；（3） G=（PQ）R）（QP）（R）；（4） G=（ P（Q（RP）（QS）。解（1）P Q R SPQR PQ RS （PQ）（RS） G1 1 0 0 0 1 0 1 1 故（1）的真值为1。（2）P Q R SPQ （PQ）R G1 1 0 0 1 1 1故（2）的真值为1。（3）P Q R SPQ （PQ）R QP R（QP）（R G1 1 0 0 1 1 0 1 1 1故（3）的真值为1。P
4、Q R S P P（Q（RP） QS G1 1 0 0 1 1 1 1故（4）的真值为1。4、 在什么情况下，下面的命题是真的：“说戏院是寒冷的或者是人们常去的地方是不对的，并且说别墅是温暖的或者戏院是讨厌的也是假的。” 解 设P：戏院是寒冷是；Q：戏院是人们常去的地方；R：别墅是温暖的；S：戏院是讨厌的；于是，题设命题为G=（PQ）（RS），且G的真值为1。由此可知，命题（PQ）与（RS）的真值同时为1，即命题（PQ）与（RS）的真值同时为0，亦即命题P，Q，R，S的真值同时为0。故当“戏院是温暖的，戏院不是人们常去的地方，别墅是寒冷的，戏院是不讨厌的”时，题设命题是真的。说明 比较复杂的复
5、合命题，命题之间往往会同时用多个联结及圆括号加以联结。在确定这种形式命题的真值过程中，必然会涉及到真值计算的次序。如果出现的联结词相同，又无括号时，按从左到右的次序运算；若遇有括号时，优先进行括号中的运算。总之，应按运算次序逐次求出真值的中间结果，直至完成全部计算。5、 构造下列公式的真值表，并解释其结果。（1）（P（PQ）Q；（2）（PQ）Q；（3）（PQ ）（QR）解（1）的真值表 P Q PQ P（PQ） （P（PQ）Q 0 00 11 01 11 0 11 0 10 0 11 1 1可见：（P（PQ）Q是恒真的。（2）的真值表 P Q PQ （PQ） （PQ）Q0 00 11 0 1
6、11 0 01 0 00 1 01 0 0可见：（PQ）Q是恒假的。（3）的真值表 P Q R PQ QR （PQ ）（QR） 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 10 0 10 1 01 1 11 1 11 0 01 1 11 1 11 1 1可见：（PQ ）（QR）是可满足的。说明 从从依照递归形式所给出的公式的定义中，可以看出：公式是一个符号串，设有真值，不是命题，是命题的抽象，仅当我们对其中的各个原子，用确定的真（1）或假（0）代入解释（赋值）时，才得到一个命题。并将公式在其所有解释下所取真值列成的一个表，称为其真值表。 构造真值
7、表的步骤如下：（1） 找出给定公式G中所有的原子（n1），列出所有可能的解释（个）。（2） 按照从低到高的顺序列出G的各层次，最后为G本身。（3） 根据五个逻辑联结词的真值表，计算出各层次的真值，直至计算出G的真值。在本题的三个真值表中，我们还会看到有三种不同类型的最后结果。其中（1）的最后一列全为1（真），（2）的最后一列全为0（假），（3）的最后一列既有1又有0，我们将其分别称为恒真的，恒假的和可满足的。因此，构造公式G的真值表，是判断公式G的类型的一种方法当然，真值表还有其它的用途，而判断公式的类型也还有其它的方法。6、 用真值表判断下列公式是恒真？恒假？可满足？（1）（PP）P； （2
8、）（PQ）Q；（3）（PP）Q； （4）（PQ）（QR）（PR）解（1）的真值表 P P PP （PP）P 0 1 1 1 1 0 0 1故公式（1）为恒真。（2）的真值表 P Q PQ （PQ） （PQ）Q0 0 0 11 01 11 0 01 0 00 1 01 0 0故公式（2）为恒假。（3）的真值表 P Q P PP （PP）Q 0 00 11 01 1 1 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0故公式（3）为可满足。（4）的真值表P Q RPQ QR （PQ）（QR）PR （PQ）（QR）（PR）0 0 00 0 1 0 1 00 1 11 0 01 0 11 1 01 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 1 1故公式（4）为恒真的。说明 设G：公式 I：G的所有解释当真值1时，称G为恒真的。 0时，称G为恒假的。 = 时，称G为可满足的。由定义可知，恒真的和恒假的公式有些很好的特性，如：（1） GG恒真；GG恒假。（若G表示原子，亦然）；（2） G是恒真的G是恒假的；（3） 两个恒真的公式的析取、合取、蕴涵、等值均为恒真的。公式恒真性的判定，是数理逻辑的重要问题。虽
