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1、浅谈类比思想在解题中的应用（泾川县荔堡中学 闫天虎）数学家皮利亚曾说过:“类比是一个伟大的引路人”.的确从初中到高中我们学过的定理，公式很多，这些定理，公式是产生类比型问题的“沃土”.而且在许多高考试题中对类比思想的考查也是屡见不鲜.只要考生能及时发现所给问题与所学知识的相似之处，有意识地与大脑中贮存的知识，方法，技巧，习题挂钩，通过类比联想，归纳演绎，就能很快解决新问题，或得到新结论.那么什么是类比呢？类比就是根据两个对象具有某些相同属性，并且其中的一个对象还有另外的属性作为前提，推出另一个对象也有相同或类似的属性.比如，我们由分数的运算法则可以推出分式的运算法则就是类比.又比如我们把“四个
2、二次”放在一起类比，等等.值得注意的是，类比是不严格的，得到的结论也不一定正确.但类比推理能启发思路、触类旁通.下面我就简单谈谈用具体例子说明类比思想如何在解题中的以应用案例1. 圆的面积函数的导数等于圆的周长函数，球的体积函数的导数等于球的表面积函数.解析:半径为的圆的面积，周长，若将看作上的变量,则 由类比联想:半径为的球，体积，球的表面积为，若将看作上的变量，则 案例2.是正常数，则，当且仅当时上式取等号，利用这一性质结论可以得到函数，的最小值为_取得最小值的值为_解析: ，当且仅当,时上式取等号，即当时， .案例3.在平面几何里有勾股定理“设的两边互相垂直,则有”.拓展到空间,类比平面
3、几何的勾股定理.研究三棱锥的侧面面积与底面面积之间的关系,可以得出的正确结论是:“设三棱锥的三侧面两两互相垂直,则有解析:在平面上是线的关系，在空间里呢？假若是面的关系，类比一下，直角顶点所对的边的平方是另外两边的平方和，而直角顶点所对的面会有什么关系呢？大胆猜想: 事实上，如图1-2作交于点，连结，则 图1-1 图1-2案例4. 如图2-1有面积关系:，通过类比则图2-2有体积关系: 图2-1 图2-2解析:设，.类比一下，设，分别过作，垂足分别为，再连结，则与相似， ,， 则由联立解得:.案例5. 在任意中有余弦定理:.拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱的第三个侧面面积与另外两
4、个侧面所成的二面角之间的关系式:，即三棱柱的余弦定理.解析:如图3-2所示，设为斜三棱柱的侧棱上的任意一点，作交于点，交于点.， ，又是二面角的平面角，在中由余弦定理得:，. 图3-1 图3-2案例7.在平面几何中有：“正三角形中任意一点到三边的距离之和为一定值”；拓展到空间,类比平面几何中正三形这一性质.研究正三棱锥的侧的几何特性,可以得出的相似的结论: “正三棱锥上中任意一点到四个面的距离之和为一定值”。分析：通过类比：二维-三维，平面-立体，面积-体积。展开思维活动，使问题迎刃而解，从而拓宽学生的解题思路。解析：如图1-1 设正的边长为，是其内任意一点，且到，的距离分别为，垂足分别为，。
5、连接，。由面积分割法得：即：得：所以正三角形中任意一点到三边的距离之和等于其边长的倍即恒为一定值。如图1-2设正四面体的棱长为，是其内任意一点，且到,，的距离分别为，垂足分别为，。连接，,。由体积分割法得：即：得：。案例8.若中两直角边为，斜边上的高为，则有，如图在正方体的一角上截取三棱锥，为棱锥的高，则有()分析：通过类比：二维-三维，平面-立体，面积-体积。展开思维活动，使问题迎刃而解，从而拓宽学生的解题思路。解析： 设中两直角边为，斜边上的高为，有：，所以。由直角三角形等面积原理得： ，两边平方变形得：。在三棱锥中，易得：,.在中由余弦定理得： 所以 在中再由正弦定理得：两边平方有： 在
6、三棱锥中，由直等体积原理得：S所以即： 有.案例6. 如图4-1，矩形和矩形夹在两条平行线之间，且，则易得矩形的面积与矩形的面积满足:.由此类比，如图4-2，夹在两条平行线之间的两个封闭图形，如果任意作一条与平行的直线，且分别与两个图形的边界交于和，且，则的面积满足_.椭圆与圆是夹在直线和之间的封闭图形，类比上面的结论，由圆的面积可得椭圆的面积为_.解析:本例中需要进行两个层次的类比拓展，一是将矩形的面积类比拓展到两个平行封闭图形与的面积比;二是进一步将它类比拓展到另外两个图形的面积上去.它们能够类比拓展的特点是:夹在两条平行直线间的两个平面图形，若用一条平行与这两条平行直线的直线去截这两个平
7、面图形，所得的线段的比为一个定值，则这两个平面图形的面积比也为这个定值,因此本例的类比实质上是方法的类比拓展.本例的参考答案为:; 图4-1 图4-2当然，数学问题浩如烟海，能用类比思想解决的不止以上各例.正如，伟人毛泽东说过:“生命不息，奋斗不止”.只要数学永存，类比思想的应用将是一个永恒的主题！参考文献，1杨庆余.高中数学教材难点分析M.银川:宁夏人民出版社,1998,130-225.2江西金太阳高考模拟示范卷(第12卷)J.南昌: 江西金太阳出版社,2008. 3试题调研2008高考押题文科数学M.乌鲁木齐:新疆青少年出版社,2008,5-7.2许少华.浅谈类比推理J.郑州:中学生学习报(第4期),2007.- 2 -
