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1、课时分层训练 （三十七 ） 空间图形的基本关系与公理A 组 基础达标（ 建议用时： 30 分钟 ）、选择题1. （2015 湖北咼考）11, l 2表示空间中的两条直线，若p： l i, l 2是异面直线，q： I i,l 2 不相交，则 （）A. p 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件B. p是q的必要条件，但不是 q的充分条件C. p 是 q 的充分必要条件D. p既不是q的充分条件，也不是 q的必要条件A 若丨1,丨2异面，则丨1,丨2 定不相交；若丨1,丨2不相交，则丨1,丨2是平行直线或异 面直线，故p? q, qD? /p，故p是q的充分不必要条件.2. 给出下列说法：梯形
2、的四个顶点共面；三条平行直线共面；有三个公共点的两个平面重合；三条直线两两相交，可以确定3 个平面.其中正确的序号是 （A.3.（2017 郑州联考）已知直线a和平面a , 3 , a A 3 = 1 ,，且 a 在B. D.C. A 显然命题正确.由三棱柱的三条平行棱不共面知，错.命题中，两个平面重合或相交，错.三条直线两两相交，可确定 1个或3个平面，则命题不正确.内的射影分别为直线 b和c,则直线b和c的位置关系是（A.相交或平行B.相交或异面C.平行或异面D.相交、平行或异面 依题意，直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面.4.若空间中四条两两不同的直线11, 12, 13
3、, 14满足11丄12,丨2丄13,丨3丄1 4,则下列结论一定正确的是 （）A. 1 1丄 1 4B. I 1 / I 4C. 1 1 与 1 4既不垂直也不平行D. 11与 14的位置关系不确定D 如图，在长方体 ABCDA1B1CD 中，记 11= DD, 1 2= DC 1 3= DA 若 14 = AA,满足 11丄I 2, I 2丄I 3, I 3丄I 4,此时11/ 14,可以排除选项 A和C.若取CD为丨4,则I 1与丨4相交;l 4异面；取CD为I 4,贝U l 1与l 4相交且垂直.因此I 1与|4的位置关系不能确定.5.已知正方体ABCDABCD中，E, F分别为BB,
4、CC的中点，那么异面直线AE与 DF#B.D.DCiAB所成角的余弦值为（）A.52C.3B 连接 DF,则 AE/ DF,/ DFD为异面直线 AE与DF所成的角.设正方体棱长为a,2 尹宁日3、填空题6. 如图7-2-7所示，正方体 ABCDAiBCD中，M N分别为棱 CD, CC的中点，有以下四个结论:图 7-2-7 直线AM与 CC是相交直线; 直线AM与 BN是平行直线； 直线BN与MB是异面直线； 直线MN与AC所成的角为60.其中正确的结论为 .（注：把你认为正确的结论序号都填上）由题图可知 AM与 CC是异面直线，AM与 BN是异面直线，BN与 MB为异面直线. 因为DC/
5、MN所以直线 Mh与 AC所成的角就是 DC与AC所成的角，且角为 60 .7. （2017 佛山模拟）如图7-2-8所示，在正三棱柱 ABGABC中，D是AC的中点，AA :AB=匹:1，则异面直线 AB与BD所成的角为 .图 7-2-860 取AQ 的中点E,连接BiE, ED AE在Rt ABE中，/ ABE即为所求，yR 3设 AB= 1，贝U AA/2, AB=W, BE2, AE= 2，故/ ABE= 60 .&如图7-2-9 ,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且AB/ CD则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .【导学号：66482330】图 7-2-
6、94取CD的中点为G图略），由题意知平面 EFG与正方体的左、右侧面所在平面重合或平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行或EF在平面内，所以直线 EF与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.三、解答题9.如图7-2-10所示，正方体 ABCDABCD中，M N分别是 AB, BC的中点.问:Cl图 7-2-10(1) AM和CN是否是异面直线？说明理由;DB和CC是否是异面直线？说明理由.解AM CN不是异面直线理由：连接 MN AC, AC因为M N分别是AiB, BC的中点，所以 MNI AC. 2 分又因为AA綊CC,
7、所以AACC为平行四边形,所以AC I AC,所以MN/ AC所以A, M N, C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线.5 分(2)直线DB和CC是异面直线6 分理由：因为 ABCDAB C D是正方体，所以 B, C, C , D不共面假设 DB与CC不是异 面直线，则存在平面 a ,使D B 平面a , CC 平面a ,所以 D, B, C, C a , 1 0 分这与B, C, C , D不共面矛盾，所以假设不成立，即D B和CC是异面直线.1 2 分1 0.如图7-2-11所示，在三棱锥 P-ABC中 , PA!底面ABC D是PC的中点.已知/ BAC =n , AB= 2 ,
8、AC= 2 3 , PA= 2.求：图 7-2-11三棱锥P-ABQ的体积；（2）异面直线BC与 AD所成角的余弦值.解 Sa abc= 2 X 2X2 3= 2 3,三棱锥P-ABC的体积为11V= 3S abc PA= 3 X2 3 X 2 =335 分如图，取PB的中点E,连接DE AE贝y ED/ BC,所以/ ADE是异面直线BC 与 AD所成的角（或其补角）.8 分在厶 ADE中 , DE= 2, AE= 234.3故异面直线BC与 AD所成角的余弦值为-.12 分4B组能力提升（建议用时：15分钟）1. （2017 南昌二模）设a为平面，a,b为两条不同的直线，则下列叙述正确的是
9、A. 若 a/ a , b/ a，贝U a / bB. 若a丄a , a/ b,贝U b丄aC. 若a丄a , a丄b,贝U b/ aD. 若a/ a , a丄b,贝U b丄aB 若a/ a , b/ a，则a与b相交、平行或异面，故 A错误；易知B正确；若a丄a, a丄b,贝U b / a或b a,故C错误；若a / a , a丄b,贝U b / a或b a或b与a相交，故D错误.AC= BC2. 如图7-2-12，正方形 ACDEf等腰直角三角形 ACB所在的平面互相垂直，且=2，/ AC= 90, F,G分别是线段AE,BC的中点，则AD与 GF所成的角的余弦值为 _DE图 7-2-12
10、罟取DE的中点H,连接HF, GH1由题设，HF綊2AD/ GFH为异面直线AD与 GF所成的角（或其补角）.在厶GHF中，可求HF=2,GF= GH= 6, cos Z GFH=2 2+6 2-6 2韦2X述X663. （2016 广州模拟）已知三棱锥 A- BCD中, AB= CD且直线AB与CD成 60角，点 MN分别是BC AD的中点，求直线 AB和MN所成的角【导学号：66482331】如图，取AC的中点AD的中点,则 PM/ AB,且 PM= |abpn/ CD 且 pn= 2cd所以Z MPN为AB与 CD所成的角（或其补角）.6 分则Z MPN= 60 或Z MPN= 120 , 若Z MPN= 60,因为PM/ AB所以Z PMN是 AB与MN所成的角（或其补角）.又因为AB= CD所以PM= PN则厶PMN1等边三角形，所以Z PM比60 ,即AB和 MN所成的角为60 .9 分 若Z MPN= 120,则易知 PMN是等腰三角形，所以Z PMN= 30,即AB和MN所成的角为30.综上，直线 AB和 MN所成的角为60或30 .12 分
