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1、微分中值定理的证明题1. 若在上连续，在上可导，证明：，使得：。 证：构造函数，则在上连续，在内可导，且，由罗尔中值定理知：，使即：，而，故。2. 设，证明：，使得。 证：将上等式变形得：作辅助函数，则在上连续，在内可导，由拉格朗日定理得： ， 即 ， 即： 。 3. 设在内有二阶导数，且，有证明：在 内至少存在一点，使得：。 证：显然在上连续，在内可导，又，故由罗尔定理知：，使得 又，故，于是在上满足罗尔定理条件，故存在， 使得：，而，即证4. 设函数在0,1上连续，在(0,1)上可导，.证明：(1)在(0,1)内存在，使得 (2) 在(0,1)内存在两个不同的点，【分析】 第一部分显然用闭
2、区间上连续函数的介值定理；第二部分为双介值问题，可考虑用拉格朗日中值定理，但应注意利用第一部分已得结论.【证明】 （I） 令，则F(x)在0，1上连续，且F(0)=-10,于是由介值定理知，存在 使得，即.（II）在和上对f(x)分别应用拉格朗日中值定理，存在两个不同的点，使得，于是，由问题（1）的结论有 5. 设在0，2a上连续，证明在0,a上存在使得 .【分析】在0,2a上连续，条件中没有涉及导数或微分，用介值定理或根的存在性定理证明。辅助函数可如下得到【证明】令，在0,a上连续，且当时，取，即有；当时，由根的存在性定理知存在使得，即6. 若在上可导，且当时有，且，证明：在 内有且仅有一个
3、点使得证明：存在性构造辅助函数则在上连续，且有，由零点定理可知：在内至少存在一点，使得，即：唯一性：（反证法）假设有两个点，且，使得在上连续且可导，且在上满足Rolle定理条件 必存在一点，使得： 即：，这与已知中矛盾 假设不成立，即：在内仅有一个根， 综上所述：在内有且仅有一个点，使得7. 设在0，1上连续，在(0，1)内可导，且=0，=1。试证至少存在一个(0，1)，使=1。分析：=1=1=x=0 令 ()= 证明： 令 F()= ()在0，1上连续，在(0，1)内可导，(1)= ()= 由介值定理可知，一个(，1)，使 ()=0 又 (0)=0=0对()在0，1上用Rolle定理，一个(
4、0，)(0，1)使 =0 即 =18. 设在上连续，在内可导，且试证存在和.满足，使。证 由拉格朗日中值定理知， 9. 设在上连续,内可导证明:使得(1)证:(用乘于(1)式两端,知)(1)式等价于(2)为证此式,只要取取和在上分别应用Cauchy中值定理,则知其中.10. 已知函数在0 ,1上连续，在（0 ，1）内可导，证明存在，使解：利用柯西中值定理而 则（后面略）11. 设在时连续，当时，则在内有唯一的实根解：因为，则在上单调增加（中值定理）而故在内有唯一的实根12. 试问如下推论过程是否正确。对函数在上应用拉格朗日中值定理得： 即： 因，故当时，由 得：，即 解：我们已经知道，不存在，
5、故以上推理过程错误。 首先应注意：上面应用拉格朗日中值的是个中值点，是由和区间的端点而定的，具体地说，与有关系，是依赖于的，当时，不一定连续地趋于零，它可以跳跃地取某些值趋于零，从而使成立，而中要求是连续地趋于零。故由推不出13. 证明：成立。 证明：作辅助函数，则在上连续，在内可导， 由拉格朗日定理知： 即：，因在内单调递减，故在内单调递增，故即： 即：。 注：利用拉格朗日中值定理证明不等式，首先由不等式出发，选择合适的函数及相应的区间，然后验证条件，利用定理得 ，再根据在内符号或单调 证明不等式。14. 证明：当时，。 证明：作辅助函数则 故在上单调递减，又因，在上连续， 故 =0，即：，即：。 注：利用单调性证明不等式是常用方法之一，欲证当时，常用辅助函数，则将问题转化证，然后在上 讨论的单调性，进而完成证明。15. 证明：若二阶可导，且，则在 内单调递增。证明：因，要证单调递增，只需证， 即证。 设，则，因为 ，故是单调递增函数，而，因此，即：， 即：，即当时单调递增。
