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1、八年级上册第一章 勾股定理（2）（博客http:/ QQ:181932921电邮）第一部分知识回顾 一、再回顾两个乘法公式：完全平方公式，平方差公式： 已知，则 已知，则= 已知，则 已知，则 提问：1、若，则；2、已知，则 （原题）3、 （填入不等式）二、勾股定理1. 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（即：a2+b2=c2）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长：a、b、c有关系a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形2. 勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都
2、与直角三角形有关3. 如何用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形（1）首先确定最大边（如：C，但不要认为最大边一定是C）（2）验证c2与a2+b2是否具有相等关系，若c2=a2+b2，则ABC是以C为直角的三角形（若c2a2+b2则ABC是以C为钝角的三角形，若c2a2+b2则ABC是以C为锐角三角形）补在ABC中， (1)若c2=a2+b2，则C 90；(2)若c2a2+b2，则C 90；(3)若c2a2+b2，则C 90补勾股数的定义：如果三个正整数a,b,c满足等式a2b2=c2，那么这三个正整数a,b,c叫做一组勾股数. 第二部分典型例题 【例1】等边三角形的边长为2，求它的
3、面积解：如图，等边ABC，作ADBC于D则：BD=BC（等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合）AB=AC=BC=2（等边三角形各边都相等） BD=1在直角三角形ABD中AB2=AD2+BD2，即：AD2=AB2BD2=41=3 AD=SABC=BCAD=注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a，则其面积为a【例2】在锐角ABC中，已知其两边a=1，b=3，求第三边的变化范围分析：显然第三边bacb+a，但这只是能保证三条边能组成一个三角形，却不能保证它一定是一个锐角三角形，为此，先求ABC为直角三角形时第三边的值解：设第三边为c，并设ABC是直角三角形 当第三边是斜边时，c2=b2+
4、a2，c= 当第三边不是斜边时，则斜边一定是b，b2=a2+c2，c=2（即）ABC为锐角三角形所以点A应当绕着点B旋转，使ABC成为锐角（如图），但当移动到点A2位置时ACB成为直角故点A应当在A1和A2间移动，此时2AC注：此题易忽视或中一种情况，因为假设中并没有明确第三边是否直角边，所以有两种情况要考虑【例3】四边形ABCD中，B=90，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13，求四边形ABCD的面积解：连结ACB=90，AB=3，BC=4，AC2=AB2+BC2=25（勾股定理），AC=5AC2+CD2=169，AD2=169，AC2+CD2=AD2，ACD=90（勾股定理逆定理）S
5、四边形ABCD=SABC+SACD=ABBC+ACCD=36本题是一个典型的勾股定理及其逆定理的应用题 【例4】如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边ABD，连结DC，以DC为边作等边DCE，B、E在CD的同侧，若AB=，则BE= (2001年重庆市中考题) 思路点拨 因BE不是直角三角形的边，故不能用勾股定理直接计算，需找出与BE相等的线段转化问题 注 千百年来，勾股定理的证明吸引着数学爱好者，目前有400多种证法，许多证法的共同特点是通过弦图的割补、借助面积加以证明，美国第20任总统加菲尔德(18311881)曾给出一个简单证法 勾股定理的发现是各族人民早期文明的特征，有人建
6、议，将来与“外星人”交往，可以把勾股定理转化为光电讯号，传向异域，他们一定懂得勾股定理现已确定的2002年8月在北京举行的国际数学家大会的会标来源于弦图的图案【例5】 2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的勾股圆方图，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形(如图所示)如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的较短直角边为a，较长直角边为b，那么(a+b)2的值为( ) (2003年山东省中考题) A13 B 19 C25 D169 思路点拨 利用勾股定理、面积关系建立a、b的方程组 【例6】 如图，P为ABC边BC上的一点，
7、且PC2PB， 已知ABC45，APC60，求ACB的度数 (“祖冲之杯”邀请赛试题)思路点拨 不可能简单地由角的关系推出ACB的度数，解本例的关键是由条件构造出含30角的直角三角形 解：过C作CM垂直于AP，连接BM，角APC=60度， 角MCP=30度，MP=1/2*PCPC=2PBMP=PB角MBP=角BMP=1/2*角APC=30度=角MCPBM=CM 角BAP=角APC-角ABC=60度-45度=15度， 角ABM=角ABC-角MBP=45度-30度=15度AM=BM=CM， 在直角三角形AMC中，角PAC=角ACM=45度， 角ACB=角ACM+角MCP=45度+30度=75度【例
8、7】如图，在RtABC中，ACB=90，CDAB于D，设ACb，BCa，AB=c，CD=h求证：（1）；(2) ；(3) 以、为边的三角形，是直角三角形 思路点拨 (1)只需证明，从左边推导到右边；（2）证明(；(3)证明在证明过程中，注意面积关系式的应用 【例8】 一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等，这样的直角三角形是否存在?若存在，确定它三边的长，若不存在，说明理由 (2003年北京市竞赛题) 思路点拨 假设存在符合条件的直角三角形，它的三边长为a、b、c，其中c为斜边，则，于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解 注 当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、
9、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组 从代数角度，考察方程的正整数解，古代中国人发现了“勾三股，四弦五”，古希腊人找到了这个方程的全部整数解（用代数式表示的勾股数组） 17世纪，法国数学家费尔马提出猜想：当3时，方程无正整数解 1994年，曼国普林斯顿大学堆尔斯教授历尽艰辛证明了这个猜想，被誉为20世纪最伟大的成果一般地，在有等边三角形、正方形的条件下，可将图形旋转60或90，旋转过程中角度、线段的长度保持不变，在新的位置上分散的条件相对集中，以便挖掘隐含条件，探求解题思路解：这个直角三角形的三条边分别
10、是：a,b,根号(a2+b2)由题意可以知道，1/2ab=a+b+根号(a2+b2).即：根号(a2+b2)=1/2ab-(a+b),将其两边平方得，a2+b2=1/4a2b2-ab(a+b)+a2+b2+2ab1/4a2b2-ab(a+b)+2ab=0ab(1/4ab-a-b+2)=0,因为ab0，所以，1/4ab-a-b+2=0,ab-4a-4b+8=0,a(b-4)=4b-8,a=(4b-8)/(b-4)=(4b-16+8)/(b-4)=4+8/(b-4)因为三角形的三边都是整数，而8有四个约数：1，2，4，8，所以，b的取值有四种情况即：5，6，8，12下面分别讨论：1、b=5,a=1
11、2,此时，斜边是13，面积是1/2*5*12=30，周长是：5+12+13=30，符合要求2、b=6,a=8,斜边是10，面积与周长都是243、b=8，a=6，这与上面2中的情况实质是一样的4、b=12,a=5,这与1中的情况又完全相同综上所述，符全要求的三角形有两种情况三边分别是：5，12，13；6，8，10第三部分练习1如图，AD是ABC的中线，ADC=45，把ACD沿AD对折，点C落在点C的位置，则BC与BC之间的数量关系是 (2001年山西省中考题) （第1题） （第2题） （第3题）2如图，ABC是直角三角形，BC是斜边，将ABP绕点A逆时针旋转后，能与ACP重合，若AP3，则PP的
12、长等于 3如图，已知AB=13，BC=14，AC=15，ADBC于D，则AD= (2001年武汉市选拔赛试题)4如图，四边形ABCD中，AB3cm，BC=4cm，CD=12，DA=13cm，且ABC=90，则四边形ABCD的面积是 cm2 （第4题） （第5题） （第7题）5如图，一个长为10米的梯子，斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么，梯子底端的滑动距离( ) A等于1米 B大于l米 C小于l米 D不确定. (2002年宁波市中考题)6如果一个三角形的一条边是另一条边的2倍，并且有一个角是30，那么这个三角形的形状是( ) A直角三角形 B钝角三角形
13、C锐角三角形 D不能确定 7在四边形ABCD中，A=60，B=D90，BC=2，CD=3，则AB=( ) A4 B5 C2 D8在由单位正方形组成的网格图中标出了AB，CD，EF，GH四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是( ) ACD，EF，GH BAB，CD，EF CAB，CD，GH DAB，EF，GH(2003年北京市竞赛题) （第8题） （第9题）9如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形：(1)使三角形的三边长分别为3，2，；(2)使三角形为钝角三角形且面积为4 (2002年吉林省中考题)10如图，在ABC中，AB=AC，A=120，MN垂直平分AB，求证：CM=2BM(2002年南道市中考题)11如图，在RtABC中，A=90，D为斜边BC中点，DEDF，求证：第四部分课后练习12如图，在ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，则BC的长为 (2002年湖北省预赛试题)（第12题）
