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1、学习等差数列求和公式的四个层次黑龙江大庆实验中学(163311)毕明黎 等差数列前n项和公式,是数列部分最重要公式之一,学习公式并灵活运用公式可分如下四个层次:1.直接套用公式从公式中,我们可以看到公式中出现了五个量,包括这些量中已知三个就可以求另外两个了.从基本量的观点认识公式、理解公式、掌握公式这是最低层次要求.例1 设等差数列的公差为d,如果它的前n项和,那么( ).(1992年三南高考试题)(A) (B)(C) (D)解法1 由于且知,选(C).解法2 对照系数易知此时由知故选(C).例2 设是等差数列的前n项和,已知与的等比中项为,与的等差中项为1,求等差数列的通项.(1997年全国
2、高考文科)解 设的通项为前n项和为由题意知,即化简可得解得或由此可知或经检验均适合题意,故所求等差数列的通项为或2.逆向活用公式在公式的学习中,不仅要从正向认识公式,而且要善于从反向分析弄清公式的本来面目.重视逆向地认识公式,逆向运用公式,无疑将大大地提高公式的解题功效,体现了思维的灵活性.例3 设求证:(1985年全国高考文科)证明 又又且例4 数列对于任意自然数n均满足,求证: 是等差数列. (1994年全国高考文科)证明 欲证为常数,由及可得推出作差可得因此由递推性可知: 为常数),所以命题得证.这是九四年文科全国高考试题,高考中得分率极低,我们不得不承认此为公式教学与学习中的一个失误,
3、倘若能重视逆向地认识公式,理解公式,应用公式,还“和”为“项”,结局还能如此惨重吗?3.横向联系,巧用公式在公式的学习过程中,还要从运动、变化的观点来认识公式,从函数及数列结合的角度分析透彻理解公式,公式表明是关于n的二次函数,且常数项为0,同时也可以看出点列均在同一条抛物线上,且此抛物线过原点,体现了思维的广阔性,请再看例2.解 设,则可得解得或,所以或从而或y例5 设等差数列的前项和为,已知指出中哪一个值最大,并说明理由. (1992年全国高考试题)x1213解 由于表明点列都在过原点的抛物线上,再由易知此等差数列公差d 3.引参策略恰当地设立参数,使问题得到简化,计算量减少,这是解题中常
4、用技巧.例4 设对所有实数x,不等式恒成立,求a的取值范围. (1987年全国高考试题)解:令,则原不等式可转化为.要使原不等式恒成立,必须有或即解之适当地引入参数,另辟蹊径解题十分巧妙,请再看例1.解:原方程等价于设,则当时又当时又综上所述可知k的范围为或4.分类讨论分类讨论是解决含参变量问题的重要手段之一,值得注意的是在分类讨论中要准确地确定分类标准逐级分类讨论.例5 已知自然数n,实数a1,解关于x的不等式(1991年全国高考试题)解:原不等式等价于(1)n为奇数时即(2)n为偶数时即例6 设,比较与的大小,并证明你的结论. (1988年全国高考试题)解:当t0时,由均值不等式有,当且仅
5、当t=1时取“=”号,所以t=1时=时 若则若则0),的图象.由图象知,由求得交点P横坐标为,(舍)当n为奇数时,由知因a1由图象知.当n为偶数时,由知因a1,由图象知.仿上方法同理可求解例2,这里从略.步骤:把原不等式(方程)等价变形为作出与图象,由求交点,由图象及函数性质确定范围,从而求解.6.分离参数(主次转化)更换问题中的参变量和变量位置,常常得到新颖简洁的解法,请再看例4.解:将原不等式变形为,又对于任意,因此必须且只须即解之0a1.所求a的取值范围为0a0时,则k0,故当x0时,则k0,故综上可知.分离参数一般步骤为:将含参数t的关于x的方程或不等式变形为g(t)与 的等式或不等式,根据方程或不等式的解(x)的范围确定函数的取值范围D,由D以及g(t)与的相等与不等关系确定为g(t)的取值范围,从而求出参数t的范围.说明:这里是前提,是关键从以上数例可以看出,只要我们从多角度、多方位、多层次上去挖掘隐含条件,从而获得问题的最佳解决方法,不断提高自己的解题能力.
