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1、例说化归与转化的若干原则江苏省苏州市木渎第二中学 母建军 215101在解决数学问题时，常遇到一些问题直接求解较为困难，须将陌生问题通过化归与转化， 归结为一个比较熟悉或比较简单或已经解决的问题来解决。这就是所谓的化归与转化的思想 方法。化归与转化的思想方法是多种多样的，但目标是一致的：将问题变得简单、容易、熟 悉，达到解决问题有利境地，通向问题解决之路。若要实施好某种化归与转化，使得这种化 归与转化是行之有效的，就必须遵循相应的原则，而不能随心所欲，盲目进行。一般说来， 化归与转化应遵循以下若干基本原则：一、熟悉化原则将陌生的问题转化为熟悉的问题，以利于我们运用熟悉的知识、经验和问题来解决。
2、例 1. 两条异面直线称为“一对”，则在正方体八个顶点间的所有连线中，成异面直线的 共有多少对？分析：如果以其中一条棱进行分类的话，很难搞清“重”和“漏”。然而我们对以下两 题很熟悉：以正方形的八个顶点为顶点的三棱锥有多少个？如果两条异面直线称为“一 对”的话，任一三棱锥中有多少对异面直线？故可把本题分解成两个熟悉的问题，即考虑一种对应。由于的答案是C 4 -12二58个；的答案是3对，故本题答案为58X3=174对。8 评注：若直接寻找异面直线的对数很繁且易漏，而引入三棱锥通过计算三棱锥个数， 使得三棱锥的个数与异面直线的对数建立了一个对应，从而使问题转化为我们所熟悉的问 题。二、简单化原则
3、 将复杂的问题化归为简单问题，通过对简单问题的解决，达到解决复杂问题的目的，或 获得某种解题的启示和依据。这里的简单，有时还指问题的处理方式或解决方案上的简单。例 2.实数 x、y 满足 x 1, y 1 且 dog x)2 + (log y)2 二 log (ax2) + log (ay2).当aaaaa 1时，求log (xy)的取值范围.a分析： 题中所涉及的 log x、log y 都可以看成复杂的 变量， 所以 设 aau二log x, v二log y (其中u 0 ,v 0),则原题转化为：已知u 0, v 0且aa(u -1)2 + (v-1)2二22，求u + v的取值范围.此
4、时，u + v中仍然含有两个变量，所以再设u = 1 + 2cos0 , v = 1 + 2sin0 ,(其中一叟)因此u + v = 2 + 2y/2sin(B +)，又6340+丁，故1+y3u+v 爼,2所以logxyi的取值范围是12412a1+我2+ 2临.评注：通过第一次转化，将复杂的两个变量变简单，第二次转化将两个变量转化为一个 变量，这样，问题就变的简单了.三、和谐化原则通过化归问题的条件或结论，使其表现形式更加和谐和统一，或者转化命题，使其推演有利于运用某种数学方法或其方法符合人们的思维规律.例3.已知 ABC中，三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c , ABC的外接圆
5、的半径为 J2 但 2、；2( sin2 A - sin2 C)二(a b)sin B.(1)求角C.(2)求厶ABC面积的最大值.分析：(1)所给条件是边角之间的关系，未知元素多而杂，先由正弦定理转化为边的关 系，得2帯2(爲)2(爲)2二(a b)专，即a2 + b2 c2 = ab，再由余弦定理可得2 R2 R2 Ra 2 + b 2 一 c 21所以C =cos C =2ab21(2)由面积公式得s = absin C，用正弦定理将边的关系转化为三角函数的问题来解决,S = 1 ab sin C = 2、； 3 sin A sin B = 2、3 sin A sin(2 A)；3 si
6、n(2 A - 6+弓=2、3 sin A-3 cos A + sin A) = 3( 3 sin A cos A + sin2 A) 22=sin 2 A - cos 2 A) + 32 2 2亠，兀兀，兀3j3故当2A =，即A =时，AABC面积的最大值为.6 2 32评注：将题目中的元素统一，条件和结论统一，是一种重要的思维方式，它体现了转化 过程中的和谐与统一。四、直观化原则将一些含糊的、抽象的、深奥的问题转化为比较具体的、直观的、浅显的问题来解决。例4.已知是等差数列，d为公差且不为0, a和d均为实数,它的前n项和记为S ，n1n设集合A = ,B = (x, y )I n n丿
7、丿I4 x2 y 2 = 1, x, y e R试问下列结论是否f n e N是否共线。等差数列 ia n丿nah)an易证在直线正确，若正确，请给予证明；若不正确，说明理由。若以集合A中元素作为点的坐标, 则这些点都在同一条直线上；A B至多有一个元素。(分析：将结论转换成解几语言：判断点列an1 1 1y = x +。丿=2 x + 2 a上，故共线。将集合语言：“ A n B至多有一个元素”转换成解几语言：“点列所在直线/: y二2 x + 2 ai与双曲线-y2 = 1最多一个交点。4V l的斜率等于渐进线的斜率，当a二0时，没有交点；当a主0时，只有一个解，An B11至多有一个元素
8、。评注：在解题的思维过程中，要不断实施数学语言的转换，才能把题目中的最本质的数 量关系揭示出来，从而利于解题。五、正难则反原则当问题正面讨论遇到困难时，可考虑问题的反面，设法从问题的反面去探求，使问题获 解。例 5：一个自动报警器由雷达和计算机两部分组成，两部分有任何一个失灵，这个报警器就失灵。若使用100 小时后，雷达部分失灵的概率为0.1,计算机失灵的概率为0.3，若两部分失灵与否是独立的，求这个报警器使用100 小时失灵的概率。分析：本题如果从正面考虑报警器失灵则有三类情况：雷达、计算机至少有一个失灵， 较繁；所以可以采用“正难则反”的转化思想，进行逆向思考。先考虑报警器不失灵的概率，
9、即求雷达和计算机均不失灵的概率。记“使用100小时后雷达失灵”为A,记“使用100小时后计算机失灵”为B, 则报警器使用 100 小时失灵的概率为1 - P(A B)二 1 - P(A) P(B)二 1 - 1-P(A)1- P(B)二 1 - 0.63 二 0.37.评注：在分析和解决问题的过程中，人们往往不注意逆向思维，从而导致了问题的复杂 化，所以，我们应当重视逆向思维的意识和运用。总之，化归与转化的思想方法融汇和贯穿于解题的始终，而解题的过程实质就是不断转 化的过程。虽然化归与转化的思想和方法是发散的，但是我们在解决问题的过程中还是要遵 循一些基本的原则，要充分调动和运用我们已经掌握的知识、方法和经验，把要解决的问题 通过不断的转化，归结到已经掌握的认知范畴内去解决。
