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1、带电粒子在匀强电磁场中运动分类浅析黄书鹏福建漳州 漳州一中 363000 文章摘要：带电粒子在电磁场中运动，是中学物理教学中的重点也是难点。一般教科书都没有详细论证，查找相关文献，多集中在带电粒子在正交电磁场中的运动，且多用高等数学知识分析求解，不适合中学教学。文章用中学物理知识, 应用运动的合成与分解，牛顿定律和动能定理，按场的组合和粒子进入场的方式分类处理。详细分析了粒子在不同电磁场运动轨迹，可以是直线，或抛物线，或圆周运动，或直线运动与圆周运动的合成曲线（螺旋线或摆线）。并以高考试题为例分析求解。关键词：带电粒子 匀强电磁场 运动合成 运动轨迹带电粒子在电磁场中运动，是中学物理教学中的重
2、点也是难点。一般教科书都没有详细论证，查找相关文献，多集中在带电粒子在正交电磁场中的运动，且多用高等数学知识分析求解，不适合中学教学。本文拟用中学物理知识,，按场的组合和粒子进入场的方式分类处理。主要应用两条原理；一是力的独立性原理。独立考虑力产生的效果，其中抓住电场力对电荷作功，洛伦兹力对电荷不做功。二是运动的独立性原理。粒子在场中可能做较简单的直线运动，也可能做较复杂的曲线运动。带电粒子（简称粒子下同）的运动，按电磁场的组合方式可分为两场分离或重叠、两场方向平行或垂直；依粒子进入场中的速度方式，又可分为初速为零或不为零、平行电场射入或垂直电场射入等情形（与电场有夹角入射较复杂中学不作要求）
3、。实际问题都是这两些方式的组合。下面以高考试题为例分析讨论。图11.粒子在互相分离的电磁场中运动这种运动比较简单，粒子顺序受电场力和洛伦兹力作用，在电场中作匀变速直线运动或平抛运动，在磁场中做匀速圆周运动。可按电荷在电场中和在磁场中运动规律分别求解。其中两场交界处的物理量是解题的边界条件要充分挖掘。1.1.粒子先受磁场力再受电场力的运动例1.（1998年高考）如图1所示，在x轴上方有垂直于xy平面向里的匀强磁场，磁感应强度为B；在x轴下方有沿y轴负方向的匀强电场，场强为E。一质量为m，电量为-q的粒子从坐标原点O沿着y轴正方向射出。射出之后，第三次到达x轴时，它与点O的距离为L。求此粒子射出时
4、的速度v和运动的总路程s（重力不计）。图2析与解：粒子沿垂直B方向进入匀强磁场做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力。由牛顿第二定律 ,得。由题意, 。粒子在匀强磁场中转半个圆周，以速度v第一次过x轴进入匀强电场，受电场力F=qE方向向上，做加速度 ，初速度为v的匀减速直线运动，位移l。而后作初速度为零的匀加速直线运动原路返回第二次经过X轴进入磁场。又转半个圆周第三次经过X轴进入电场，总路程为一个圆周及两倍位移2l.如图2所示。由动能定理： ， 。总路程。1.2.粒子先受电场力，然后进入磁场偏转。图3例2(08天津高考)在平面直角坐标系 xoy 中，第1象限存在沿y轴负方向的匀强电场，第象限存在垂
5、直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B。一质量为m、电荷量为q的带正电的粒子从y轴正半轴上的M点以速度v0垂直于y轴射入电场，经x轴上的N点与x轴正方向成=60角射入磁场，最后从y轴负半轴上的P点垂直于y轴射出磁场，如图3所示。不计粒子重力，求(1)M、N 两点间的电势差UMN。(2)粒子在磁场中运动的轨道半径r；(3)粒子从M点运动到P点的总时间t。析与解：粒子垂直进入匀强电场做类平抛运动，末速度可从电场与磁场边界求得，再由动能定理可求出电势差。又因粒子垂直y轴射出，圆心必在y轴上，作速度v的垂线交y轴于就是轨迹圆的圆心如图4。可求出圆周运动半径。粒子从M点运动到P点的总时间t为电场中运
6、动时间t1与磁场中运动时间t2之和。图4(1) 设粒子过N点时的速度为v，有 v=2v0 由动能定理有 解得 （2） 粒子在磁场中以为圆心做匀速圆周运动，半径r为，有 ， 。(3) 设粒子在电场中运动的时间为t1,有 ，由几何关系得 粒子在磁场做匀速圆周运动的周期 设粒子在磁场中运动的时间为t2,有 小结：这种电磁场分离类型的问题是高考中最常见的题型 。粒子总是垂直磁场B进入，在磁场受洛伦兹力做匀速圆周运动。进入电场后，则按速度v0与电场E方向不同分为，平行时（加速电场）做匀变速运动如例1和2002年全国卷中的显像管中的电子枪模型，垂直时（偏转电场）做类平抛运动如例2和2009年高考宁夏理综卷
7、25题等等，这儿不一一列举，希望能引起重视。 Bv图5E2.带电粒子在互相重叠方向平行的电磁场中运动2.1.粒子沿平行E方向射入电磁场如图5所示，因v平行B，粒子不受洛伦兹力作用，电场力做正功，加速度恒定，粒子做匀变速直线运动。当v与E 同方向为加速运动，反之为减速。这类问题物理情景较简单，一般只要认真仔细审题，全面受力分析，就可以解决。图6例3. （92年高考题）在图6中虚线所围的区域内.存在电场强度为E的匀强电场和磁感应强度为B的匀强磁场.已知从左方水平射入的电子,穿过这区域时未发生偏转.设重力可忽略不计,则在这区域中的E和B的方向可能是 ( )AE和B都沿水平方向,并与电子运动的方向相同
8、；BE和B都沿水平方向,并与电子运动的方向相反；CE竖直向上,B垂直纸面向外；DE竖直向上,B垂直纸面向里。析与解：本题容易让学生想到速度选择器，当 时，粒子沿水平射出，由左手定则判断磁感应强度B向外。答案选C。仔细分析，在速度选择器中，粒子作匀速直线运动，而题干中并没有明显指明，表明只是一种可能答案。当B与E平行且都沿水平方向时，粒子只受电场力作用，作匀变速直线运动，亦不发生偏转，选项A、B也符合题意。故本题答案为A、B、C三个。不仔细审题，漏选A、B是本题失误的主要原因。2.2.粒子以v0沿垂直E方向射入电磁场。EB粒子同时受电场力和洛伦兹力作用。其合运动是较复杂的曲线运动。具体推导可采用
9、运动合成方法。设E、B沿x轴方向，v0沿y轴方向入射如图7。粒子在X方向受电场力F = qE，做初速为零，加速度 ，速度v=at的匀变速直线运动。又因为vy=v0恒垂直于磁感应强度B不变，使粒子在yoz平面做半径，周期的匀速圆周运动。粒子合运动轨迹是空间不等距螺旋线12如图7虚线。转一周前进一螺距。螺距比 d1 : d2 : d3 : = 1:3:5：。这种运动较复杂，中学一般研究较为特殊的情况，如平衡问题。 图8例4.(96年高考)设在地面上方的真空室内存在匀强电场和匀强磁场。已知电场强度和磁感应强度的方向是相同的，电场强度的大小E4.0伏/米，磁感应强度的大小B0.15特。今有一个带负电的
10、质点以v20米/秒的速度在此区域内沿垂直场强方向做匀速直线运动，求此带电质点的电量与质量之比q/m以及磁场的所有可能方向(角度可用反三角函数表示)。析与解：由上面分析粒子若受电场力和磁场力作用，轨迹为不等距螺旋线。今做匀速直线运动必还受第三个力作用 并与电场力F=qE和磁场力f=qvB平衡。按题意该力为质点重力G=mg。设B、E与G夹角为，v垂直纸面向里，三力如图8所示，由力的平行四边形法则。且只要B与G夹角为，都满足平衡条件。所以磁场的所有可能方向为以G为轴，夹角的旋转圆锥体母线的所有方向。3. 带电粒子在互相垂直的电磁场中运动图9v粒子在电磁场中既受电场恒力做匀变速直线运动，又受洛伦兹变力
11、做匀速圆周运动。其轨迹依初始状态（粒子入射速度大小和方向）是不同类型的摆线（旋轮线）34如图9，图中0,0.5,1,1.5等是入射速度v0与的比值。具体讨论如下。3.1.粒子沿垂直于电场E方向进入场中设E沿y正向，B沿z正向，速度v0（）沿x轴正向，粒子电量q0。粒子的运动方程可用参数方程表示5。令，。方程为 。当v0=0时，v2=v1。方程6为我们熟悉的 如图10。其中旋轮半径为，转动角速度。考察参数方程可得，粒子在x方向运动可视为两个运动和合成。其中做匀速直线运动, 做振幅为R，周期的简谐振动。y方向若将坐标平移一个R ,则,亦做振幅为R，周期的简谐振动。又和的合运动轨迹为半径为R 的圆。
12、这样就将粒子较复杂的曲线运动，等效为匀速直线运动和匀速圆周运动的两种较简单运动的合运动。因此只需将粒子入射的速度v0，分解为v1、v2两个分速度，且满足, v2= v0- v1 。则粒子受电场力与洛伦兹力一分力平衡，粒子以v1沿x方向做的匀速直线运动，另一洛伦兹分力Bqv2，使粒子又以半径在yox平面的匀速圆周运动。则粒子在电磁场中的运动的轨迹是一条摆线如图10。其一拱的跨度为一常数与入射速度无关（证明略）。例5. （2011福建高考）如图11甲，空间中存在沿y轴负方向的匀强电场和垂直于xoy平面向里的匀强磁场，电场强度大小为E，磁感应强度大小为B.一质量为m、电荷量为q(q0)的粒子从坐标原
13、点O处，以初速度v0沿x轴正方向射人，粒子的运动轨迹见图甲，不计粒子的重力。（1） 求该粒子运动到y=h时的速度大小v；（2） 现只改变人射粒子初速度的大小，发现初速度大小不同的粒子虽然运动轨迹（y-x曲线）不同，但具有相同的空间周期性，如图乙所示；同时，这些粒子在y轴方向上的运动（y-t关系）是简谐运动，且都有相同的周期T=。.求粒子在一个周期内，沿轴方向前进的距离s；.当入射粒子的初速度大小为v0时，其y-t图像如图丙所示，求该粒子在y轴方向上做简谐运动的振幅A,并写出y-t的函数表达式。 析与解：带电粒子在正交电磁场中，既受电场力又受洛伦兹力，运动轨迹是一摆线（旋轮线）。其中电场力做正功
14、，洛伦兹力不做功。问题（1）可由动能定理求出。问题（2）由上面分析也容易得出结果。 （1） 根据动能定理 解方程得。（2）.粒子在一周期内前进距离 。.粒子在y轴方向上做简谐运动，由上面分析其振幅大小为圆周运动的半径所以y-t的函数表达式既y轴方向上做简谐运动表达式y=A(1-cost)=( v0-)(1-cost)。小结：总之粒子沿垂直于E方向进入场中，受电场力F=qE，又洛伦兹力f=qBv0。运动轨迹是摆线，随v0不同，分成几种情况。 当时，f=F粒子做匀速直线运动，轨迹如图9中的1，典型应用就是速度选择器。 当时，fF粒子运动轨迹是初速顺着E方向的摆线,，v0取值不同（， ， ）摆线幅度
15、不同如图9中的1.5、2、3。 当时，fF粒子运动轨迹是初速向着E方向做摆线运动，轨迹如图9中的0.5、0。实际分析，按运动的合成与分解，将粒子的速度分解成，和两个分速度，使粒子的运动成以v1做匀速直线运动，以半径做匀速圆周运动两个，从而化难为易。比如当v0=0，分解成，等等，这里不一一列举。 3.2 .粒子沿平行于E方向进入电磁场粒子受电场力作用同时又受洛伦兹力作用，如前分析，速度分解后，将粒子实际运动等效为匀速直线运动和匀速圆周运动两个分运动。可证明（略）轨迹还是一摆线。若场区无界，初速度不为零，粒子在场中做摆线运动;若场区有界，粒子从边界进入，当初速为零，且边界足够宽粒子将沿入射边做摆线运动。若初速不为零，则粒子总要飞出场区，进一步分析如下。图12Uv0ABdBv1v2如图12，设粒子以初速v0进入场区，将v0分解出一沿垂直于v0方向的v1，产生洛伦兹力，大小等于qE，使粒子以v1做匀速直线运动。另一分速度v2按
